Integración numérica


INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Los ingenieros encuentran con frecuencia el problema de integrar funciones que están definidas en forma tabular o en forma gráfica y no como funciones explícitas, se pueden utilizar métodos gráficos, pero los métodos numéricos son mucho más precisos.
La integración numérica consiste en encontrar una buena aproximación al área bajo la curva que representa unafunción f(x), que ha sido determinada a partir de datos experimentales o a partir de una expresión matemática.
Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más comunes de integración numérica, se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar, estas son:
- La regla de integración Trapezoidal.
- La reglade Simpson.
Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de manera uniforme.
El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir
Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o cuando ƒ(x) esta dada como un conjunto de valorestabulados.
La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinomial de la función.
REGLA DEL TRAPECIO
FUNDAMENTO:
Considérese la función ƒ en el intervalo [a, b], con los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) se construye el polinomio de Lagrange de grado uno.ƒ(x) = P1(x) + E, donde E es el error en la aproximación























La expresión que aproxima el valor de la integral se conoce como regla del trapecio, porque geométricamente se puede interpretar que se aproxima el área bajo la curva por el área bajo un polinomio de grado uno P1(x) y la figura que resulta es un trapecio.Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada.
Este es un método de integración numérica que se obtiene al integrar la formula deinterpolación lineal.ico





Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto.
       
Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).
 
Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicar N veces alcaso de N intervalos con una separación uniforme h.
Así se propone la regla extendida del trapecio.





















EJEMPLO:
El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por  ,, entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con . El valor exacto es I=11.7286, u2.
Evalué el error para cada N.

Donde:CÓDIFICACIÓN EN MATLAB
Para regla del trapecio compuesta:
Para diseñar un programar que implemente la regla, definimos entrada con las letras "a, b" como intervalo, "n" el número de partes y "f" la expresión-función. La salida del programa es la aproximación.

Programa solución en Matlab:

clc
clear
f='exp(x^2)';
a=0;
b=1;
n=4;

% f funcion
% a,b intevalo
% n numeropartes
disp('Funcion: ');
f
disp('De [a: ');
a
disp('Hacia b]: ');
b
f=inline(f);
h=(b-a)/n;
aprox=f(a)+f(b);
for i=1:n-1
x=a+i*h;
aprox=aprox+2*f(x);
end
aprox=(h/2)*aprox;a=0;
disp(aprox); 

Para regla del trapecio simple:
clear all; 
clc; 
fprintf('Calculo de la integral por el metodo trapecial\n\n'); 
f=input('introduce la funcion:','s'); 
a=input('lime inferior:'); ...