Integración Por Fracciones Parciales

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

Una guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de P(x)/Q(x)
1. Si el grado de P(x) no es menor que el de Q(x) se deben dividir los polinomiospara obtener la forma apropiada.
2. Expresar Q(x) como un producto de factores lineales aix+ b o formas cuadráticas irreducibles ax2+bx+c y agrupar los factores repetidos para que Q(x) quedeexpresado por un producto de factores distintos de la forma (ax+b)m o bien (ax2+bx+c)n con m y n enteros no negativos.
3. Aplicar los siguientes casos (Zill,1987)
Caso I. Factores lineales no repetidosP(x)Q(x)=Pxa1x+b1a2+b2…(anx+bn)
en donde todos los factores (ai + bi), i=1,2,…..,n son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas C1, C2, …..Cn tales queP(x)Q(x)=C1a1x+b1+C2a2x+b2+…+Cnanx+bn

Caso II. Factores lineales repetidos
P(x)Q(x)=P(x)(ax+b)n
En donde n>1 y el grado de P(x) es menor que n, entonces pueden encontrar constantes realesúnicas C1, C2, …, Cn, tales que
P(x)(ax+b)n=C1ax+b+C2(ax+b)2+….Cn(ax+b)n
Caso III Factores cuadráticos irreducibles (b2-4ac<0) no repetidos
Se supone que el denominador de la función racional P(x)/Q(x) se puede expresar como un producto de factores cuadráticos irreducibles distintos aix2+bix+ci, i=1,2…n si el grado de P(x) es menor que 2n, es posible encontrar constantes reales únicas A1,A2,…..An, B1,B2,…Bn, tales que
P(x)a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2……(anx2+bnx+cn)=A1x+B1a1x2+b1x+c1+A2x+B2a2x2+b2x+c2+…+Anx+Bnanx2+bnx+cn

Caso IV Factores cuadráticos irreducibles (b2-4ac<0) repetidos
Esteultimo caso considera al integrando P(x)(ax2+bx+c)n en donde ax2+bx+c es irreducible y n>1. Si el grado de P(x) es menor que 2n, se pueden encontrar constantes reales únicas A1, A2,…..An, B1,B2,……Bn tales que
P(x)(ax2+bx+c)2=A1x+B1ax2+bx+c+A2x+B2(ax2+bx+c)2+…+Anx+Bn(ax2+bx+c)n

EJEMPLOS
A continuación se desarrollarán integrales con el método de fracciones parciales
FACTORES...