Integración Vectorial

Integración vectorial de línea, superficie y volumen

Saúl Vargas Rosas

-Algebra-

Integral delínea
 Las integrales de línea de funciones de varias variables sobre curvas en dos o tres dimensiones.
Sea f una función de dos variables x y y que es continua en una región D, la cual contiene unacurva regular C con una parametrización x = g (t), y = h (t); a ≤ t ≤ b. Se definirán tres integrales diferentes de f sobre C. Comenzamos dividiendo el intervalo del parámetro [a, b] escogiendo
a = 10< 11< 12 < ... < 1n = b.
En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dosdimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Integral curvilínea de un campo escalar
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integralde trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t  [a, b], está definida como:
Donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) sonlos puntos finales de C.
Integral curvilínea de un campo vectorial
Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t  [a, b], está definidacomo:

Donde  es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal maneraque r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Independencia de la curva de integración
Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo),esto es:

Entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

Con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los...