Integración

Integración
Introducción
Una de las grandes hazañas de la geometría clásica, consistió en obtener
Fórmulas para determinar las áreas y volúmenes de triángulos, esferas y conos.
El método que desarrollaremos, llamado integración, es una herramienta para calcular mucho más que áreas y volúmenes. La integral tiene muchas aplicaciones en estadística, economía, ciencias e ingeniería. Nos permitecalcular rangos de cantidades de probabilidad y promedios de consumo de energía, así como la fuerza del agua contra las compuertas de una presa.
El objetivo de la integración es permitirnos calcular efectivamente muchas cantidades, dividiéndolas en partes más pequeñas y sumando después la contribución de cada trozo.
Desarrollaremos la teoría de la integral en el escenario del área, donde revela másclaramente su naturaleza. Empezaremos con ejemplos que involucran sumas finitas. Éstos nos conducirán de forma natural a esta pregunta: ¿qué sucede cuando sumamos más y más términos? Pasando al límite, cuando el número de términos tiende a infinito, se obtiene la integral. Aunque la integración y la derivación están estrechamente relacionadas, hablaremos del papel que juegan la derivada y laantiderivada. La naturaleza de su conexión, contenida en el teorema fundamental del cálculo, es una de las ideas más importantes del cálculo.
Desarrollo
¿Cómo se inventa el cálculo integral?
El cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. Laderivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entrederivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.
El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow,Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series depotencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tiposde desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual
Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integralen 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el...