Integraci n por partes

Integración por partes



El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.


∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du   (se integra en ambos lados de la fórmula)


(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = uv - ∫v du (despejando, queda la fórmula de  la integración por partes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera


1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,2.- En u deben ir  aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada  es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.

Una de las reglas para   saber si  el procedimiento realizado es correcto  la integral resultante debe ser más sencilla quela original o sino de igual dificultad.




 


Ejemplo
  

Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante de Integración solo  debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula.

Ejemplo 2






  
 La  siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partesdirectamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Al observar que la función exponencial en su exponente genera una derivada y que esta debe estar dentro de la integral. 

  
El siguiente ejercicio se conoce como integrales cíclicas, puesto que reaparece la original y debe despejarse como se demuestra a continuación:

 



 Ejercicios

1.- Cambio de Variable o Sustitución
Esta técnica no esotra cosa que  la regla de la cadena de   las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su  integral.
∫f(gx) g!x dx = F(gx) + C







 


Ejercicios 


Integral definida
Dada unafunción f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál esla variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a,c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Función integral
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.
Paraevitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].
Definición...