Integracion Analitica De Los Componentes De La Matriz De Regidez De Un Elemento Finito Cubico

INDICE
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1.- Introducción………..……………………………………………….

2

Formulación de la matriz de rigidez para un material
elastoestático ………………………………………………………

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2 .-

3.- Tipos de Integrales en la matriz de rigidez …………………….

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4.- Integración de los términos de los matriz de rigidez ………….

14

5.- Conclusiones ………………………………………………………

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6.- Bibliografía …………………………………………………………189

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1.- Introducción.
Durante la aplicación de los método de los elementos finitos en la solución de
problemas de sólidos estáticos y elásticos, se llega a una ecuación de elementos
finitos, la cual contiene un término de llamada matriz de rigidez del elemento finito,
el tamaño y los componentes de esta matriz dependen del tipo de elemento finito
en que se discretizo el sólido que seesta estudiando y es la parte de la ecuación
de elementos finitos que al encontrar la solución del modelo es la que mayor
tiempo consume en la solución de la ecuación por medios computacionales.
En cada termino de la matriz de rigidez se encuentran integrales, que para
algunos tipos de problemas (sencillos) se pueden resolver por medios analíticos,
estos tipos de problemas son aquellos enlos coeficientes de la ecuación
diferencial son constantes y la transformación de coordenadas globales a
coordenadas locales es lineal, para algunos casos especiales de funciones en los
coeficientes de la ecuación diferencial y algunas transformaciones espe ciales
también es posible resolver estas integrales en forma exacta por medios
analíticos, pero en la gran mayoría de los problemas reales,esto no es cierto.
Para el problema de este proyecto que es un solido elástico estatico, con un
elemento finito cubico de ocho nodos y cada nodo con tres grados de libertad, se
obtuvieron funciones que nos ayudarían a llevar a cabo la solución de estas
integrales por medios analíticos de una manera sencilla.
En la Sección 2 se muestra el desarrollo de la obtención de la matriz de rigidez ylos componentes que lo forman partiendo de principio de la minimización de la
energía potencia de un solido.
En la Sección 3 se muestra los diferentes tipos de integrales que se tienen en la
matriz de rigidez de un elemento finito cubico de ocho nodos con tres grados de
libertad en cada nodo. Y la manera de resolverlos analíticamente.
En el Sección 4 se aplica las soluciones obtenidas en elSección 3 para resolver
las integrales que se encuentran en la matriz de rigidez.
En el Capitulo 5 se dan las conclusiones del desarrollo de este proyecto.

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2.- Formulación de la matriz de rigidez para un material
elastoestático
La energía potencial total de un sistema solido elástico puede ser separado en dos
dos partes, una parte debido de la energía de deformación del interior delcuerpo
y la otra parte debido a la energía potencial debido a las cargas externas e
internas.
La energía potencial total será entonces

(2.1)
siendo la energía de deformación y
la energía potencia debido a las cargas
aplicadas. El trabajo realizado por las cargas es el negativo de su energía
potencial es decir

(2.2)
Combinando las Ecuaciones (2.1) y (2.2) tenemos
(2.3)
Al dividir elsistema elástico en en un número finito de elementos, la Ecuación (2.3)
se puede escribir en la forma de una sumatoria
∑(

)

∑

(2.4)

Esta ecuación deberá ser minimizada para obtener el estado estacionario del
sistema elástico pero antes calcularemos cada uno de los términos que conforman
esta ecucion.
La energía de deformación para un elemento diferencial de volumen
materialelástoestatico está dada por
()()

( )()

de un

(2.5)

donde ( ) es la deformación total y ( ) es una deformación inicial,
es llamado
la densidad de energía de deformación. La energía de deformación de esta
densidad es obtenida cuando integramos sobre todo el volumen
3

∫

(( ) ( )

( ) ( ))

(2.6)

Los vectores columna ( ) y ( ) dependen del problema que será resuelto. Por...