Integracion de coordenadas polares cilindricas y esfericas

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

INTEGRACION DE COORDENADAS POLARES CILINDRICAS Y ESFERICAS

METEMATICAS 3

SHEYLA SANTIAGO

 
INTRODUCCION
De la misma manera en que laintegral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funciónpositiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una"integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puedeinterpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
El Dominio deIntegración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:


Coordenadas PolaresLa transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. Tambiénse puede demostrar que si se consiera ρ = (ρ1 + ρ2) / 2 (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente ρΔρΔθ.
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetríacircular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente encoordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:
Si la función es
aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a φ y a ρ....