Integracion De Funciones Irracionales

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

La técnica de integración de funciones racionales tiene por objeto calcular la primitiva de cualquier función racional, por compleja que sea, mediante ladescomposición en fracciones parciales.
Primero hay que factorizar el polinomio del denominador, expresándolo como producto de factores lineales x+c y factores cuadráticos x2+c o x2+bx+c.
Ejemplo:x5+x4-x-1=x4x+1-x+1=x4-1x+1=x2+1x2-1x+1
=x2+1x-1x+1x+1=x2+1x-1x+12
Obtuvimos cuatro factores: uno cuadrático y tres lineales, repetido uno de ellos dos veces.
Una vez factorizado el denominador, hayque descomponer la función en tantas fracciones simples como factores hayamos obtenido, pues esas fracciones simples son fáciles de integrar.
La técnica sólo es aplicable a fracciones propias, en lasque el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. En caso de que se presente una fracción impropia, primero hay que hacer la división, para obtener unpolinomio y una fracción propia, cuyas primitivas se calculan a partir de reglas de integración o fórmulas en tablas de integrales.
Ejemplo:2x3-3x2+2x+4x2+4=2x-3+-6x+8x2+42x3-3x2+2x+4x2+4dx=2x-3dx+-6x+8x2+4dx
=x2-3x-32xdxx2+4+8dxx2+4=x2-3x-3lnx2+4+4tan-1x2+c
El procedimiento de descomposición en fracciones simples es el inverso del seguido para sumar fracciones, encontrando su comúndenominador; es decir, a partir del denominador común se encuentren las fracciones cuya suma resulta en la fracción de origen.
Ejemplo: 5x+7x-1x+3=Ax-1+Bx+3=Ax+3+Bx-1x-1x+3 5x+7=Ax+3+Bx-1si x=1, 51+7=4A 4A=12 A=3; si x=-3, 5-3+7=-4B B=2
5x+7x-1x+3=3x-1+2x+3
Cuando el denominador se puede expresar como el producto de n factores lineales distintos:PxQx=Pxx-r1x-r2…x-rn=Ax-r1+Bx-r2+…+Nx-rn
Ejemplo: 5x+7x2+2x-3dx=5x+7x-1x+3dx=Ax-1+Bx+3dx (Del ejemplo anterior)
=3x-1+2x+3dx=3dxx-1+2dxx+3=3lnx-1+2lnx+3+c...