Integracion de funciones racionales trigonometricas

UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (2º A.D.E.)

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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO Conceptos previos.Funciónpar.Una función y = f(x) es par si se cumple que f(–x) = f(x). 1 senx Ejemplos: 1) f(x) = 2 ; 2) f(x) = , etc. x x +5 Función impar.Una función y = f(x) es impar si se cumple que f(–x) = – f(x). x sen 2 xEjemplos: 1) f(x) = 2 ; 2) f(x) = , etc. x x +5 Función par en seno.Una función trigonométrica es par en seno si al sustituir sen x por –sen x la función no

varía.

cos x + 1 ; etc.. Debe tenerseen cuenta que es posible que la expresión sen 2 x sen x no aparezca explícitamente. Por ejemplo, f(x) = 1+tg2x también es par en seno pues sen 2 x ; o por ejemplo f(x) = cos x, ya que podemosescribir f(x) = cos x·sen0x. tg2x = 2 cos x Análogamente se definiría función par en coseno. Función impar en seno.Una función trigonométrica es impar en seno si al sustituir sen x por –sen x la funcióncambia de signo. sen 3 x ; 3) f(x) = tg x, etc.. Ejemplos: 1) f(x) = sen x; 2) f(x) = cos x + sen 2 x Análogamente se definiría función impar en coseno. Función par en seno y coseno(simultáneamente).Cuando al sustituir sen x y cos x por –sen x y –cos x, respectivamente, la función no varía.. 1 ; 2) f(x) = tg x; etc. Ejemplos: 1) f(x) = 1 + senx·cos x Ejemplos: f(x) =
Integración de las funcionesracionales de sen x y cos x: ∫ R ( senx,cosx ) dx .-

Se resuelven por el método de sustitución, recomendándose los siguientes cambios: -1er caso: R(sen x, cos x) es impar en sen x → cambio cos x = t dtde donde: sen x = 1 − t 2 y dx = − , lo cual convierte la integral en la de una función 2 1− t racional de la variable t

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Integrales trigonométricas

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dx es impar en sen x; haciendo el cambio cos x = t, se tiene: sen x ⋅ cos 2 x 1 −dt 1 1 · = 2 2 dt . Efectuando la...