Integracion de funciones

Integración de funciones racionales de seno y coseno.
Eleazar José García. eleagarcia95@hotmail.com 1. Deducción de fórmulas para realizar las sustituciones. 2. Teorema. 3. Ejercicios resueltos. 4. Ejercicios propuestos. 5. Respuestas de ejercicios propuestos. Deducción de fórmulas para realizar las sustituciones. Si el integrando es una función racional de sen u y cos u, se puede reducir a unafunción racional de z mediante la sustitución z = tg 1 u. 2 Con la finalidad de obtener la fórmula para y cos u en términos de z se utilizan las 1 1 identidades siguientes: sen u = 2 sen 2 u cos 2 u y cos u = 2 cos 2 1 u − 1. 2
sen u

Entonces se tiene,
sen u = 2 sen 1 u cos 1 u 2 2 = 2 sen 1 u cos 2 1 u 2 2 1 cos 2 u 1 sec2 1 u 2
cos u = 2 cos 2 1 u − 1 2 = = = 2 −1 sec 2 1 u 2 2 −1 1 + tg 1u 2

= 2 tg 1 u 2 = =

2 tg 1 u 2 1 + tag 2 1 u 2 2z 1 + z2
1 2

2 −1 1 + z2 1 − z2 = 1 + z2

2 Como z = tg 1 u , entonces, dz = 1 sec 1 u du = 2 2 2 2dz du = . 1 + z2

(1+

tg 1 u ) du = 2

1 2

( 1 + z ) du, por lo tanto,
2

Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema. Teorema. Si z = tg 1 u, entonces, se verifican las siguientes igualdades, las cualespueden ser usadas 2 para la integración de funciones racionales de seno y coseno:
2z 1 − z2 2dx , cos u = y dx = . 2 2 1+ z 1+ z 1 + z2

sen u =

Ejercicios resueltos. 1) Evalúe Solución. Haciendo el cambio sen u =
2z 1 − z2 2dx , cos u = , dx = , entonces, 2 2 1+ z 1+ z 1 + z2

∫

dx 1 + sen x − cos x

∫

dx = 1 + sen x − cos x

∫

2 dz 1 + z2 = 2z 1 − z2 1+ − 1 + z2 1 + z2∫

dz = z + z
2

∫

dz z ( z + 1)

Descompongamos

1 en fracciones simples : z ( z + 1)   1 B   A z ( z + 1)   z ( z + 1)  = z ( z + 1)  z + z + 1       1 = A ( z + 1) + Bz ⇒  A+ B = 0 ⇒   A= 1 1 = ( A + B) z + A

1 A B = + ⇒ z ( z + 1) z z + 1 ⇒

⇒

A= 1 y B= −1

Luego,

∫

dz = z ( z + 1)

∫

1  1  −  dz =  z z + 1

∫ ∫
dz − z

dz z+ 1

= (ln z + C1 ) − ( ln z + 1 + C2 ) + C = ln z − ln z + 1 + C1 − C2 tg 1 x z + C1 − C2 = ln 1 2 + C, z+ 1 tg 2 x + 1

= ln

C = C1 − C2

Por lo tanto :

∫

tg 1 x dx = ln 1 2 + C 1 + sen x − cos x tg 2 x + 1

◊

2) Calcule Solución.

∫

sec x dx

Puesto que,

∫

sec x dx =

∫

dx 1 1 + z2 2 dx , y sec x = = , dx = , entonces: 2 cos x cos x 1 − z 1 + z2

∫

sec x dx =∫
2

 1 + z 2   2 dz  2   2  1− z   1+ z

  = 

∫

2 dz = 1 − z2

∫

2 dz ( 1 − z) ( 1 + z)

Descomponer :

2 dz en fracciones simples : ( 1 − z) ( 1 + z) = A B + ⇒ 1− z 1+ z 2 = A( 1 + z) + B ( 1 − z )

( 1 − z) ( 1 + z) ( 1 − z) ( 1 + z)
2

B   A = ( 1 − z) ( 1 + z)  +  ⇒ ( 1 − z) ( 1 + z)  1− z 1+ z   A− B = 0  A+ B = 2   2A = 2 ⇒ 

⇒

2 = ( A− B) z + ( A + B) ⇒

A= 1 y B= 1

Luego,

∫

2 dz = ( 1 − z) ( 1 + z)

∫ ∫

1   1 +   dz  1+ z 1− z  dz + 1+ z

=

∫

dz = ( ln 1 + z + C1 ) + ( ln 1 − z + C2 ) 1− z

= ln 1 + z + ln 1 − z + C1 + C2 = ln ( 1 + z ) ( 1 − z ) + C1 + C2 = ln 1 − z 2 + C = ln 1 − tg 2 1 x + C 2 Por ende :

∫

sec x dx = ln 1 − tg 2 1 x + C 2

◊

3) Evalúe Solución.

∫

dx 4 sen x −3 cos x

Haciendo el cambio

sen u =

2z 1 − z2 2dx , cos u = , dx = , 2 1+ z 1 + z2 1 + z2

entonces:

∫

dx = 4 sen x − 3 cos x

∫
1 5

 4 

2 dz 1 + z2 =  1 − z2  2z   − 3 2  1 + z2   1+ z 

∫

2 dz = 3z − 8z − 3
2

∫

2 dz ( 3 z + 1) ( z − 3 )

=

∫

dz − z− 3

3 5

∫

dz = 3z + 1

1 5

( ln

z − 3 + C1 ) −

1 5

∫

d ( 3 z + 1)3z + 1

=

1 5

ln z − 3 −

1 5

( ln

1 3 z + 1 + C2 ) + 5 C1 =

1 5

1 1 ln z − 3 − 5 ln 3 z + 1 + 1 C1 − 5 C2 5

=

1 5

ln

z− 3 1 + 5 C1 − 1 C2 = 5 3z + 1

1 5

ln

3 tg (

x tg ( 2 ) − 3 x 2

)

+1

+ C,

C=

1 5

C1 − 1 C2 5

Por consiguiente :

∫
Resuelva : 1) 6)

dx = 4 sen x − 3 cos x

1 5

ln

)−3 x 3 tg ( 2 ) + 1
x 2

tg...