Integracion directa.

Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual af(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti derivada.
Ejemplo
Calcular la integral .
En una tablade derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
Ejemplo
Calcular la integral .
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, lasolución del problema es .
No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, asi que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrandoen algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Estemétodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento práctico
Supongamos que la integral a resolver es:


En la integral reemplazamos con (u):
(1)
Ahoranecesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Tenemos que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente.En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de...