Integracion Multiple

UNIDAD 5 INTEGRACION MULTIPLE

Correspondiente al capitulo de diferenciacion parcial del calculo diferencial, tenemos el procedimiento inverso de integracion parcial en el calculo integral.
Integracion parcial quiere decir que teniendo una expresion diferencial que contiene dos o mas variables independientes, la integramos considerando en primer lugar que una sola de ellas varia y que todaslas otras son constantes.Entonces integramos el resultado dejando varias alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes y asi sucesivamente. Tales integrales se llaman dobles,triples,etc. Según el numero de variables y en general, integrales multiples.
De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puedeinterpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, elresultado es un hipervolumen sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integracion en el orden inverso alorden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

5.1 Integrales iteradas
Se llaman integrales iteradas alarealización de por lo menos dos procesos de integración simple considerando las diferenciales “dx” y “dy”.
Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa
Lasintegrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltip le. Si la expresión:

se refiere a unaintegral iterada la parte externa:

es la integral con respecto a x de la función x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydxó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

5.2 Definicion de integral doble, areas y volúmenes
Sea una función z = f(x, y), no necesariamente positiva sobre un rectangulo R = [a, b] × [c, d].

Dividimos el intervalo [a, b] en npartes iguales, eligiendo para ello n + 1 puntos a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b siendo xi+1 − xi =b – a/n = Δx

Elegimos, de forma analoga, m + 1 puntos del intervalo [c, d]
c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym = d con yi+1 − yi =d – c/m = Δy

Asi obtenemos n ·m rect´angulos [xi, xi+1]×[yj , yj+1] = Rij de area ΔA = Δx. Δy

El volumen de la región R debajo de la grafica...