Integracion Numerica

´ ´ Integracion Numerica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Daniel Mej´a R1 ı
Instituto de F´sica ı Universidad de Antioquia

28 de Septiembre, 2011

1

danielmejia55@gmail.com
´ ´ Integracion Numerica EDO 28 de Septiembre, 2011 1 / 47

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

Contenido
1 2

´ Motivacion Problemas de Valor Inicial ´ Metodo Euler ´ Metodo Punto Medio ´ Metodo deHeun Resumen Comparativo ´ Metodos de Runge-Kutta ´ Idea General de los Metodos Runge Kutta ´ El Clasico Runge Kutta Orden 4 ´ ´ Yendo Mas Alla - Runge-Kutta-Fehlberg ´ ´ Aplicacion Practica Sistemas de EDOs de Primer Orden Acopladas EDO de Orden Superior

3

4

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ ´ Integracion Numerica EDO

28 de Septiembre, 2011

2 / 47

´ MotivacionModelamiento de Sistemas =⇒ Ecuaciones Diferenciales 1

1

E.D. Para Abreviar
´ ´ Integracion Numerica EDO 28 de Septiembre, 2011 3 / 47

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ Motivacion
Complejidad inherente a los Modelos =⇒ E.D. Complicadas2

2

´ Sin Solucion Anal´tica ı
´ ´ Integracion Numerica EDO 28 de Septiembre, 2011 4 / 47

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´Motivacion
Complejidad inherente a los Modelos =⇒ E.D. Complicadas2

2

´ Sin Solucion Anal´tica ı
´ ´ Integracion Numerica EDO 28 de Septiembre, 2011 5 / 47

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ Motivacion
´ ´ Incluso un problema tan simple como la oscilacion de un pendulo ´ involucra una EDO sin solucion anal´tica ı d2 θ − g sin θ = 0 dt 2 (1)

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)´ ´ Integracion Numerica EDO

28 de Septiembre, 2011

6 / 47

PVI - EDO Primer Orden

´ ´ Se desea dar solucion a una ecuacion diferencial de primer orden dy = f (t, y) dt

y(0) = y0

(2)

´ f (t, y) es una funcion bien comportada, la estrategia es solucionar la ´ ecuacion en un conjunto suficientemente grande de valores discretos tj = to + jh h es un incremento de la variabledependiente (3)

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ ´ Integracion Numerica EDO

28 de Septiembre, 2011

7 / 47

PVI - EDO Primer Orden
De (2) es posible ver que la derivada en (t0 , y0 ) es f (t0 , y0 ), en una ´ aproximacion Taylor de primer orden dy |t=t0 dt

y(t) ≈ y(t0 ) + (t − t0 )

(4)

Tomando h = t − t0 , puedo construir un conjunto de puntos

y1 = y0 + hf (t0 , y0 )y2 = y1 + hf (t1 , y1 ) . . . yj+1 = yj + hf (tj , yj )

(5) (6) (7) (8) (9)

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ ´ Integracion Numerica EDO

28 de Septiembre, 2011

8 / 47

´ Metodo de Euler

´ El metodo de Euler se utiliza para resolver PVI dy = f (t, y) dt y(0) = y0 (10)

´ ´ Donde la solucion se obtiene iterando la ecuacion yj+1 = yj + hf (tj , yj ) ´ Metodo Euler (11)´ El error con el Metodo de Euler se reduce linealmente con h.Lo ´ resumimos diciendo que el Error de Discretizacion Global3 =O(h)

3

EDG
´ ´ Integracion Numerica EDO 28 de Septiembre, 2011 9 / 47

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ ´ Metodo de Euler - Ejemplo de Aplicacion
Suponga que quiere solucionar dθ − g sin(θ) = 0; dt θ(0) = g (12)

tome f (t, θ) = g sin(θ) θj+1 = θj +hg sin(θj ) tj = t0 + jh (13) (14)

´ la solucion anal´tica de este problema se obtiene con cierta pericia ı θ(t) = arc cos 1 + e 2gt 1 − e 2gt (15)

Daniel M.R. (danielmejia55@gmail.com)

´ ´ Integracion Numerica EDO

28 de Septiembre, 2011

10 / 47

´ ´ Metodo de Euler - Ejemplo de Aplicacion4
´ Comparacion de resultados para diferentes h t θ h=1 θ h=0.5 θ h=0.01 θ h=0.0001 0 9.8009.800 9.800 9.800 1 6.209 1.285 9.425 9.425 2 5.477 1.910 9.425 9.425 3 -1.593 2.519 9.425 9.425 4 -1.139 2.716 9.425 9.425 5 -2.344 3.223 9.425 9.425 6 -9.356 3.117 9.425 9.425 7 -1.003 2.509 9.425 9.425 8 -4.444 2.361 9.425 9.425 9 5.005 1.804 9.425 9.425 10 -4.380 1.908 9.425 9.425
4

´ El codigo fuente se proporciona al final
´ ´ Integracion Numerica EDO 28 de Septiembre, 2011 11 / 47...