integracion numerica
Páginas: 3 (592 palabras)
Publicado: 31 de julio de 2014
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Se considera el problema:
b
I ( f ) = ∫ f ( x)dx
(1)
a
Se desea hallar una formula de aproximación I n ( f ) para I ( f ) llamada cuadratura numérica
de la forman
I n ( f ) = ∑ ai f ( xi )
(2)
i =0
Para obtener (2) , se aproxima f en [a, b] usando polinomios de interpolación de Lagrange
n
n
i =0
i =0
f ( x) = ∑ li ( x) f ( xi ) + ∏ψ (x)
n
En que l i ( x) = ∏
j =0
i≠ j
(x − x j )
f ( n +1) (ξ x )
, ξ x ∈ [a, b ]
(n + 1)!
(3)
, i = 0,1,2,..., n , xi = a + ih, i = 0,1,2,....n; h =
( xi − x j )
b−a
nIntegrando (3) sobre [a, b] se tiene:
∫
b
a
n
f ( f )dx = ∑ ai f ( xi ) +
i =0
1 b n
∏ ( x − xi ) f (n+1) (ξ x ) , ξ x ∈ ]a, b[
n + 1 ∫a i =0
( 4)
Donde
b
ai = ∫ l i ( x)dx;
a
i = 0,1,2,3...., n
Por ejemplo para n = 1 , se tiene x0 = a, x1 = b, h = b − a ,
∫
b
a
f ( x)dx = a 0 f ( x0 ) + a1 f ( x1 ) +
1 x1
( x − x0 )( x − x1 ) f '' (ξ x )dx
2∫x0
(5)
donde
x1 ( x − x )
( x − x1 )
h
h
0
dx = ; a1 = ∫
dx =
x0 ( x − x )
x0 ( x − x )
2
2
0
1
1
0
a0 = ∫
∫
x1
x0
x1
( x − x0 )( x − x1 ) f ' ' (ξ x )dx = −
h3f ' ' (ξ )
6
Así, obtenemos la formula del trapecio con error:
∫
x1
x0
f ( x)dx =
3
h
[ f ( x0 ) + f ( x1 )] − h f ' ' (c) a < c < b
2
12
(6)
Por lo tanto:
∫
ba
f ( x)dx ≈
h
[ f ( x0 ) + f ( x1 )]
2
regla del trapecio.
(7)
b−a
. Sin embargo, al deducir la
2
formula de Simpson de esta manera, únicamente se obtiene un término de error O(h4 ) que
Para n = 2 , se tiene x0 = a, x1 = x0 + h, x 2 = b, h =
f ( 3) . Si abordamos el problema en otra forma, podemos derivar un término de
contiene
orden superior que incluya f ( 4 ).Haciendo uso del desarrollo de Taylor de tercer orden en
torno a x = x1 , se obtiene la formula de Simpson con error
∫
b
a
f ( x)dx =
5
h
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] − h...
Se considera el problema:
b
I ( f ) = ∫ f ( x)dx
(1)
a
Se desea hallar una formula de aproximación I n ( f ) para I ( f ) llamada cuadratura numérica
de la forman
I n ( f ) = ∑ ai f ( xi )
(2)
i =0
Para obtener (2) , se aproxima f en [a, b] usando polinomios de interpolación de Lagrange
n
n
i =0
i =0
f ( x) = ∑ li ( x) f ( xi ) + ∏ψ (x)
n
En que l i ( x) = ∏
j =0
i≠ j
(x − x j )
f ( n +1) (ξ x )
, ξ x ∈ [a, b ]
(n + 1)!
(3)
, i = 0,1,2,..., n , xi = a + ih, i = 0,1,2,....n; h =
( xi − x j )
b−a
nIntegrando (3) sobre [a, b] se tiene:
∫
b
a
n
f ( f )dx = ∑ ai f ( xi ) +
i =0
1 b n
∏ ( x − xi ) f (n+1) (ξ x ) , ξ x ∈ ]a, b[
n + 1 ∫a i =0
( 4)
Donde
b
ai = ∫ l i ( x)dx;
a
i = 0,1,2,3...., n
Por ejemplo para n = 1 , se tiene x0 = a, x1 = b, h = b − a ,
∫
b
a
f ( x)dx = a 0 f ( x0 ) + a1 f ( x1 ) +
1 x1
( x − x0 )( x − x1 ) f '' (ξ x )dx
2∫x0
(5)
donde
x1 ( x − x )
( x − x1 )
h
h
0
dx = ; a1 = ∫
dx =
x0 ( x − x )
x0 ( x − x )
2
2
0
1
1
0
a0 = ∫
∫
x1
x0
x1
( x − x0 )( x − x1 ) f ' ' (ξ x )dx = −
h3f ' ' (ξ )
6
Así, obtenemos la formula del trapecio con error:
∫
x1
x0
f ( x)dx =
3
h
[ f ( x0 ) + f ( x1 )] − h f ' ' (c) a < c < b
2
12
(6)
Por lo tanto:
∫
ba
f ( x)dx ≈
h
[ f ( x0 ) + f ( x1 )]
2
regla del trapecio.
(7)
b−a
. Sin embargo, al deducir la
2
formula de Simpson de esta manera, únicamente se obtiene un término de error O(h4 ) que
Para n = 2 , se tiene x0 = a, x1 = x0 + h, x 2 = b, h =
f ( 3) . Si abordamos el problema en otra forma, podemos derivar un término de
contiene
orden superior que incluya f ( 4 ).Haciendo uso del desarrollo de Taylor de tercer orden en
torno a x = x1 , se obtiene la formula de Simpson con error
∫
b
a
f ( x)dx =
5
h
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] − h...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.