integracion numerica

MAT 1105 F

Integración numérica
EJERCICIOS RESUELTOS

11.

Obtenga:

a) Integrando por el método del trapecio.
Se utilizan las siguientes formulas:

4

Donde:

Ecuación
lineal
2
Área del
trapecio

Luego,
-1

1

2

3

-1

Reemplazando en la formula:

b) Integrando por el método de Simpson 1/3.
Se utilizan las siguientes formulas:

EJERCICIOS RESUELTOS –Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 1

Donde:

4

Se debe notar que para el método de
Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2.

Ecuación
cuadrática
2

Luego,

Área

-1

1

1.5

2

3

-1

Reemplazando en la formula:

c) Integrando por el método de Simpson 3/8.
Se utilizan las siguientes formulas:

Donde:

Se debe notar que para el método de Simpson3/8 simple el valor de n es igual a 3.

EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 2

Luego,

4

Ecuación
cúbica
2
Área

-1

1

4/3 5/3 2

3

-1

Lo que se puede resumir en la siguiente tabla:

0
1

1
0.333333

0.5
1.100092

2

0.666667

2.020793

3

2

3.313708

Reemplazando en la formula:

Comparando con el valorobtenido analíticamente:
exactitud de cada respuesta obtenida:

, se puede determinar la

Método

Resultado

Error

Trapecio
Simpson 1/3
Simpson 3/8

1.906854
1.646970
1.647045

0.26
7.54·10-5
4.00·10-7

Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio.

EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 3

22.Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1, utilizando 6 intervalos.

a) Integrando por el método del trapecio compuesto.
Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos.
Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de
intervalo (h):

El valor de “n” es el número de intervalos,o sea
trapecio “n” puede tener cualquier valor.

Es importante notar que para el método del

0

-1

-1

1
2

-2/3
-1/3

-0.666667
-0.333333

3

0

0

4

1/3

0.333333

5

2/3

0.666667

6

1

1

La integral dividida en los intervalos sería:

Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo:

Factorizando:

EJERCICIOSRESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 4

Que se puede sintetizar en la siguiente formula:

Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0

1/3

2/3

1

1.5

- 0.1

Para hallar los valores de
tabla:

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente

0

-1

0.241971

1

-0.666667

0.3194482

-0.333333

0.377383

3

0

0.398942

4

0.333333

0.377383

5

0.666667

0.319448

6

1

0.241971

Reemplazando en la formula:

b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.
Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma:
EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

Pagina 5Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0

1/3

2/3

1

1.5

- 0.1

Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica en cada intervalo:

Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula:

Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:

Primero, se calculará el tamaño del intervalo:

Para hallar losvalores de

0
1
2
3
4
5
6

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla:

-1
-0.666667
-0.333333
0
0.333333
0.666667
1

EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya

0.241971
0.319448
0.377383
0.398942
0.377383
0.319448
0.241971
Pagina 6

Reemplazando en la formula:

c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.
Se...