integracion por sustitucion

Integración por sustitución trigonométrica
Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma de:

Nota
Generalmente se traza el dibujode un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo, colocando un  que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar la integral se colocan los datos recibidos enella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es allí en donde utilizamos lassustituciones trigonométricas, por medio de las identidades trigonométricas para expresar de la manera que mejorconvenga , , , etc.

Es parecido a utilizar el método de Sustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades trigonométricas.

Sustitución #1 


despejar la x de la siguiente manera:Sustitución #2 

despejamos X de tal manera que

y




Sustitución # 3 


despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera
y
por lo tantoentonces :

Ejemplo # 1



Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

Despejamos  luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:Luego tenemos:
 

Despejamos  nos queda asi:

Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:

En esta parte se eliminan  y  y nos queda:

Como el  es unaconstante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad trigonométrica 

La integral de 
Ya por ultimo sacamos  de nuestro triangulo y el resultado final es:


Fracción parcialEl método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito másimportante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Para mayor claridad, sea:

en donde: . Para reducir la expresión a fracciones parciales se...