Integracion

Tema 4. Integraci´n de Funciones de Variable Compleja
o
Prof. William La Cruz Bastidas
7 de octubre de 2002

Tema 4

Integraci´n de Funciones de Variable
o
Compleja
4.1

Integral definida

Sea F (t) una funci´n de variable real con valores complejos definida como
o
F (t) = U (t) + iV (t),
donde U (t) y V (t) son funciones reales de t continuas a trazos definidas en el intervaloacotado y
cerrado a ≤ t ≤ b. Bajo estas condiciones, la funci´n F es continua a trozos y la integral definida
o
de F (t) en el intervalo a ≤ t ≤ b se define como:
b
a

F (t)dt =

b
a

U (t)dt + i

b
a

V (t)dt,

(4.1)

y se dice que F (t) es integrable en [a, b].
Propiedades de la integral definida
Sean F (t) = U (t) + iV (t), F1 (t) = U1 (t) + iV1 (t) y F2 (t) = U2 (t) + iV2 (t),integrables en [a, b]. A
partir de la ecuaci´n (4.1) se deducen f´cilmente las siguientes propiedades de la integral definida.
o
a
i) Re

b
a F (t)dt

=

b
a Re

{F (t)} dt.

ii) Im

b
a F (t)dt

=

b
a Im

{F (t)} dt.

iii)

b
a cF (t)dt

iv)

b
a [F1 (t)

v)

=c

b
a F (t)dt,

+ F2 (t)] dt =

b
a F (t)dt

≤

para toda constante compleja c.

ba F1 (t)dt

+

b
a F2 (t)dt.

b
a |F (t)| dt.

Ejemplo 4.1 Calcular la integral

π/4

eit dt.

0

1

´
TEMA 4. INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

2

o
Soluci´n. Se tiene que eit = cos t + isen t, ahora, utilizando la ecuaci´n (4.1)
o
π/4
0

eit dt =

π/4
0

cos t dt + i
π/4

π/4
0

sen t dt

π/4

= [sen t]0 + i [− cos t]0
√
√
2
2− 2=
+i
.
2
2

♦

4.2
4.2.1

Integraci´n de l´
o
ınea
Contornos

Se presentan ahora varias clases de curvas adecuadas para el estudio de las integrales de una
funci´n de variable compleja.
o
Definici´n 4.1 (Curva) Una curva C es un conjunto de puntos z = x + iy en el plano complejo
o
tales que
(a ≤ t ≤ b),
x = x(t),
y = y(t),
donde x(t) y y(t) son funciones continuas en elintervalo [a, b]. Los puntos de C se pueden
describir mediante la ecuaci´n
o
z(t) = x(t) + iy(t)

(a ≤ t ≤ b)

y se dice que z(t) es continua, ya que x(t) y y(t) son continuas.
Definici´n 4.2 (Curva suave) Una curva C se llama curva suave, si z (t) = x (t) + iy (t)
o
existe y es continua en el intervalo a ≤ t ≤ b y si z (t) nunca se hace cero en el intervalo.
Definici´n 4.3 (Contorno) Uncontorno o curva suave a tramos, es una curva que consta de
o
un n´mero finito de curvas suaves unidas por sus extremos.
u
Definici´n 4.4 (Contorno cerrado simple) Sea C un contorno. Se dice que C es un cono
torno cerrado simple si solamente los valores inicial y final de z(t) son iguales (z(b) = z(a)).

4.2.2

Integrales de l´
ınea

Sea f (z) una funci´n de variable compleja. Sea C uncontorno representado por la ecuaci´n
o
o
z(t) = x(t) + iy(t)

(a ≤ t ≤ b)

que se extiende del punto α = z(a) al punto β = z(b). Supongamos que f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
es continua a trozos en C, es decir, las partes real e imaginaria,
u(x(t), y(t))

y

v(x(t), y(t)),

´
TEMA 4. INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

3

de f (z(t)) son funciones de t continuas portramos. Bajo estas condiciones, se define la integral
de l´nea de f a lo largo de C como:
ı

C

f (z) dz =

b
a

f (z(t))z (t) dt,

(4.2)

donde z (t) = x (t) + iy (t).
Asociado al contorno C de la ecuaci´n (4.2), est´ el contorno −C, el cual se describe por la
o
a
ecuaci´n z = z(−t) donde −b ≤ t ≤ −a. Por tanto,
o

−C

−b

f (z) dz =

−a

f (z(−t))z (−t) dt,

(4.3)donde z (−t) denota la derivada de z(t) con respecto a t evaluada en −t.
Propiedades de las integrales de l´
ınea
Sean f (z) y g(z) funciones de variable compleja continuas a trozos sobre un contorno C descrito
o
o
a
por la ecuaci´n z = z(t) (a ≤ t ≤ b). A partir de la ecuaci´n (4.2) se deducen f´cilmente las
ınea.
siguientes propiedades de las integrales de l´
i)
ii)

C
C

af (z)...