Integracion

Universidad de Cantabria

Fundamentos de Teoría del Buque

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN APROXIMADA
El método más simple e intuitivo de integración aproximada es el método de los trapecios,
en el que se sustituye la función o la curva por varias cuerdas que unen los extremos de las
ordenadas (también se puede decir que se sustituye en cada tramo por un polinomio de primer
grado). Es evidente quese conseguirá mayor precisión en la medida en que tengamos un número
mayor de ordenadas y por consiguiente de cuerdas, pues la adaptación de las cuerdas a la función
mejora, tal y como podemos ver en las figuras siguientes.

El procedimiento de cálculo consiste en hallar el área de los distintos trapecios entre
ordenadas consecutivas y sumarlos todos. Aquí partimos de que la separación entreordenadas
consecutivas es siempre la misma, o sea, igual a alfa

El trapecio entre y0 e y1 tendrá el área:
y +y
Área0 = alfa × 0 1
2
y el siguiente trapecio:
y + y2
Área1 = alfa × 1
2
y así sucesivamente, con lo que sacando factor común y arreglando los coeficientes nos queda:
y 
y
ÁreaT = alfa ×  0 + y1 + y 2 + y 3 + 4 
2 
 2

Otro método es el de Simpson. Aquí en vez decuerdas, sustituimos la función por un
polinomio de segundo grado (función cuadrática). Al ser una curva suave su adaptación será mejor
que en el método anterior. Puesto que aplicamos una función de segundo grado, podemos integrar
esta función y buscar un sistema para que partiendo de las ordenadas y del intervalo de separación,
podamos calcular el área. Veamos la primera regla de Simpson

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La función es
y = ax 2 + bx + c
integramos para determinar el área:
Área = ∫

2α

0
2α

2
y 0 = ax 0 + bx 0 + c que al ser x 0 = 0
y0 = c

f ( x)dx

Área = ∫ y dx
Área =

pero también podemos poner:

0
2α

∫ (ax

2

0

y1 = ax12 + bx1 + c que al ser x1 = α
y1 = aα 2 + bα + c
2
y 2 = ax 2 + bx 2 + cque al ser x 2 = 2α

+ bx + c )dx

y 2 = a(2α ) + b2α + c
y 2 = 4aα 2 + 2bα + c
2

2α

 ax

bx
Área = 
+
+ cx 
2
 3
0
3

2

a(2α )
b(2α )
+
+ c 2α
3
2
8aα 3 4bα 2
Área =
+
+ 2cα
3
2
sacamos factor común α / 3
3

si tomamos (1y 0 + 4 y1 + 1y 2 ) tenemos:

2

Área =

Área =

α

(8aα
3

2

+ 6bα + 6c

c + 4aα 2 + 4bα + 4c + 4aα 2 + 2bα + cque equivale a:

8aα 2 + 6bα + 6c

)

Vemos que se puede sustituir:

α

( y 0 + 4 y1 + y 2 )
3
Ahora pongamos ordenadas de un área anexa
Área =

Si aplicamos lo anterior a las ordenadas siguientes, al sumar todo tendremos:
ÁreaTOTAL =

α
3

( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + α ( y 2 + 4 y 3 + y 4 )

ÁreaTOTAL =

α
3

3

( y 0 + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + y 4 )
2

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De aquí podemos sacar la secuencia de coeficientes para las distintas ordenadas. La única limitación
es, la de que el número de ordenadas debe ser impar (atención al subíndice 0) y por lo tanto el
número de intervalos deberá ser par. Los coeficientes serán:
141
14241
1424241
142424241
14242424241
Y así sucesivamente.
En el caso detener un número de intervalos múltiplo de 3, se podrá aplicar la segunda regla
de Simpson, en la que se sustituye la curva por una parábola cúbica, tal y como vemos en el
siguiente gráfico preparado para el caso inicial de cuatro ordenadas y tres intervalos iguales,
necesarios para la función de tercer grado:

Procediendo de una manera similar a la anterior
3
2
y0 = ax0 + bx0 + cx0 + d
y0= d

y = ax 3 + bx 2 + cx + d
3α

A = ∫ y dx
0

y1 = ax13 + bx12 + cx1 + d
y1 = aα 3 + bα 2 + cα + d
3
2
y2 = ax2 + bx2 + cx2 + d

3α

 ax

bx
cx
A=
+
+
+ dx 
3
2
 4
0
4

3

2

a(3α ) b(3α ) c(3α )
A=
+
+
+ d 3α
4
3
2
81aα 4 27bα 3 9cα 2
A=
+
+
+ 3dα
4
3
2
3α
A=
54aα 3 + 24bα 2 + 12cα + 8d
8
4

(

3

al ser x0 = 0

2

y2 =...