Integracion

D Integraci´n de funciones o vectoriales
En esta secci´n se exponen dos alternativas para definir la integral de una funci´n o o de variable real con valores en un espacio normado completo. La primera de ellas proporciona una ilustraci´n interesante del teorema de extensi´n de aplicaciones o o uniformemente continuas 3.26 Se comienza definiendo una integral elemental sobre el espacio vectorial delas funciones escalonadas, y luego se extiende a las funciones que son l´ ımite uniforme de estas funciones. Esta es una clase de funciones bastante amplia que incluye a las continuas, y a otras muchas que no lo son, como las escalonadas y las de variaci´n acotada. o Otra v´ para definir la integral consiste en extender directamente la integral de ıa Riemann defini´ndola como l´ e ımite, cuandoexista, de sumas de Riemann asociadas a particiones cada vez m´s finas. Igual que en el caso de las funciones con valores a reales, la demostraci´n de que las funciones continuas son integrables se basa en la o continuidad uniforme, pero el no poder considerar sumas superiores e inferiores hace que ahora el razonamiento sea algo m´s complicado. a Una vez que se ha definido la integral de una funci´ncontinua con valores en un o espacio normado completo se demuestra, en la forma usual, el teorema fundamental del c´lculo que se necesita para obtener la f´rmula integral del resto en el desarrollo a o de Taylor de funciones con valores en espacios normados completos.

D.1.

Integraci´n de funciones regladas o

Definici´n D.1 Sea (F, o ) un espacio normado y h : [a, b] → F . Si existe unasubdivisi´n p ∈ P([a, b]), p = (x0 < x1 < · · · xm ) tal que h es constante en cada o intervalo abierto (xi−1 , xi ) se dice que h es escalonada y que p es una subdivisi´n o admisible para h. Si f : [a, b] → F es l´ ımite uniforme de una sucesi´n de funciones o escalonadas hn : [a, b] → F se dice que f es reglada. El conjunto de puntos de discontinuidad D(f) de una funci´n reglada f es numerable. o Enefecto, en las condiciones de la definici´n anterior, cada hn es continua excepto o 414

´ ´ Lecciones de Analisis Matematico II

G. Vera

en los puntos de un conjunto finito D(hn ), y aplicando el teorema 3.31, se obtiene que D(f) ⊂ ∪n D(hn ) es numerable. En lo que sigue E([a, b], F ) denotar´ el subespacio de l∞ ([a, b], F ) formado por a las funciones escalonadas y E([a, b], F ) suclausura en l∞ ([a, b], F ) para la norma f
∞

= sup{ f(t) : t ∈ [a, b]}

Seg´ n la definici´n D.1 el conjunto de las funciones regladas f : [a, b] → F es u o E([a, b], F ). En virtud de la siguiente proposici´n, el subespacio vectorial de las o funciones continuas C([a, b], F ) ⊂ l∞ ([a, b], F ) est´ contenido en E([a, b], F ). a Proposici´n D.2 Toda funci´n continua f : [a, b] → F es reglada, esdecir, o o C([a, b], F ) ⊂ E([a, b], F ) Dem: Si f : [a, b] → F es continua, en virtud de 3.14, f([a, b]) es acotado y por lo tanto f ∈ l∞ ([a, b], F ). Por otra parte, como f es uniformemente continua, (v´ase 3.24) e dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si s, t ∈ [a, b] y |s − t| < δ entonces f(t) − f(s) < ǫ. Sea p = (a = x0 < x1 < · · · < xm = b) una subdivisi´n tal que ∆(p) = o m´x{xk − xk−1 : 1 ≤ k ≤m} < δ. La funci´n escalonada hǫ : [a, b] → F definida a o por h(a) = f(a), h(t) = f(xk ) si t ∈ (xk−1 , xk ] verifica f(t) − hǫ (t) < ǫ para todo t ∈ [a, b], es decir, f − hǫ probado que f ∈ l∞ ([a, b], F ) es adherente a E([a, b], F ).
∞

≤ ǫ y queda

Sea h : [a, b] → F una funci´n escalonada y p = (a = x0 < x1 < · · · < xm = b) o una subdivisi´n admisible para h. Si vk es el valor constantede h en (xk−1 , xk ), o m se define S(h, p) = k=1 (xk − xk−1 )vk . Es f´cil comprobar que si q ∈ P([a, b]) es a otra subdivisi´n admisible para h entonces S(h, p) = S(h, q). Este hecho permite o formular la siguiente definici´n o Definici´n D.3 Si h : [a, b] → F es escalonada y p ∈ P([a, b]) es una subdivisi´n o o admisible para h, se define
b m

h(t)dt = S(h, p) =
a i=1

(xk − xk−1 )vk...