integracion

4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedadesPresentation Transcript
1. x y zDEFINICIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL YSUS PROPIEDADES.
2. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma,definida para los elementos del conjunto) y una operación externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto yuncuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.
3. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Unallamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalarpor un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una reglao función que asocia a dosvectores, digamos u y v un tercer vector, aeste se le representara como u + v. La multiplicación es una regla queasocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vectorrepresentado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos ycada uno de los siguientes axiomas:• Para cualquiera dos vectores u y v en V : u⊕v∈VEste axioma se conoce como el axioma de cerradurabajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
4. •Para cualquiera dos vectores u y v en V: u⊕v=v⊕uEste axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de lasuma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.• Para cualquiera tres vectores u, v y w en V: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)Este axioma se conoce comoaxioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.
5. •Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V ysimbolizado por −u que cumple: u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5)Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversosaditivos:Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo;un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23



Conjunto generador.

Se diceque los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22



Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espaciogenerado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decirdonde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}.¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:




INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia oindependencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una...