INTEGRACION

Integral de Línea
Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.
El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente.
Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de lalínea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.
Se dan funciones vectoriales en aplicaciones físicas tales como campoeléctrico y campo magnético. Aparecen con regularidad los productos escalares de estas funciones vectoriales, con otro vector tal como la distancia o longitud de un trayecto. Cuando tal producto se suma sobre una longitud de trayecto, donde cambian tanto las magnitudes como las direcciones, esa suma viene a ser una integral llamada integral de línea. 
También se usa una integral de línea en la definición generalde trabajo en mecánica.


Aplicaciones de la Integral de Línea
La integral de línea del campo eléctrico alrededor de un bucle cerrado es igual al voltaje generado en ese bucle (ley de Faraday):

Tal integral se usa también en el cálculo de la diferencia de voltaje, puesto que el voltaje es trabajo por unidad de carga. El cálculo del voltaje cerca de una carga puntual es un buen ejemplo.
Laintegral de línea de una fuerza sobre un trayecto es igual al trabajo realizado por esa fuerza sobre el trayecto.

Integrales iteradas dobles y triples
La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integracióniterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida.
En el ejemplo anterior hemos mostrado unaintegración indefinida iterada.
Del mismo modo también puede hacerse que la integración definida itere.
Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar, también puede llevarse a cabo una integración iterada triple.
En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dosvariables como términos constantes.
La notación convencional para la integración triple es,

En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),

Si calculamos la integración doble de esta función, la salida sería algo como,

Vamos ahora a comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igualtamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que también este puede utilizarse para determinar la integral doble de una función.
Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx’. El área...