Integración por la regla de simpson~

Integración por la Regla de Simpson.
La regla trapecial, aproxima el área bajo una curva sumando las áreas de trapecios de ancho uniforme, formados al conectar puntos sucesivos de la curva medianterectas. La Regla de Simpson, proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar lasáreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas bajo la curva [pic], en la figura 1, se aproxima mediante el área bajo una parábola quepasa por los tres puntos [pic], [pic], y [pic].

[pic]

Por conveniencia, al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola seencuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la figura 2. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación. La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta lostres puntos es: [pic]. (1)
La integración desde [pic] hasta [pic] proporciona el área contenida entre las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto: [pic] La sustitución de los límites enla ecuación anterior produce: [pic] (2)

Figura 2 Y
[pic]

[pic]
[pic] [pic] [pic]

X
[pic] [pic] [pic]

Las constantes [pic] y[pic] se pueden determinar sabiendo que los puntos [pic] [pic] y [pic] deben satisfacer la ecuación (1). La sustitución de estos tres pares de coordenadas, produce:
[pic]; [pic], [pic]
Lasolución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes [pic], nos lleva a:

[pic]; [pic]; [pic] (3)
La sustitución de la primera y tercera partes de la ecuación (3) , en la ecuación(2), produce:
[pic]

[pic]; Que nos da el área en función de tres ordenadas: [pic] y el ancho [pic] de una faja. Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una...