integración

CNI07_M2AA2L1_Método
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Elvia Pérez


 

 


 Método
 de
 integración
 por
 fracciones
 parciales
 
por Sandra Elvia Pérez
 

•

¿Recuerdas que se te comentó que no existe una regla
general para resolver la integral de una función
racional?

•


 

Entonces, ¿cómo las resuelves?


 
Algunas funcionesracionales muy específicas sí tienen reglas de integración como las que
conociste en el primer módulo de este curso.
Las que son muy parecidas a las fórmulas de integración directa, pero que por un detalle no pueden
ser resueltas, se resuelven por el Método de sustitución trigonométrica.

 
¿Cómo
 le
 haces
 con
 todas
 las
 demás?
 
Para ello acude al álgebra ydependiendo de qué tipo de fracción se tenga es el procedimiento a
seguir:
• Si tienes la división de dos polinomios donde el grado del numerador es mayor al grado de
denominador, se debe hacer una división entre polinomios.
• Si el grado del numerador es menor al grado del polinomio del denominador, se utiliza el
método de las fracciones parciales.

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra nopuede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
1
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito
de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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Para poder aplicar este método se tienen 4 casos establecidos por la forma factorizada del
denominador del integrando.
Caso 1

El denominador tiene solamente factores lineales que no se repiten.

Caso 2

El denominador tiene factores lineales que se repiten.

Caso 3

El denominador tiene factores cuadráticos que no se repiten.

Caso 4

Eldenominador tiene factores cuadráticos que se repiten.
Tabla 1. Cuatro casos establecidos por la forma factorizada del denominador del integrando.

La tabla 2 muestra la forma que toma el integrando, en cado uno de los cuatro casos y su
descomposición en fracciones parciales.
Caso

Forma inicial del
Integrando

Representación en
fracciones parciales

1

P( x)
( x − a)( x − b)( x − c)

A
BC
+
+
( x − a ) ( x − b) ( x − c )

2

P( x)
( x − a) n

A
B
C
?
+
+
....... +
n
n −1
n−2
( x − a) ( x − a)
( x − a)
( x − a)

3

P( x)
( x + a)( x 2 + x − b)

Ax + B
Cx + D
+ 2
2
( x + a ) ( x + x − b)

4

P( x)
( x 2 + a)n

Ax + B
Cx + D
?x+?
+ 2
+ .... 2
2
n
n −1
( x + a) ( x + a)
( x + a)

2

Tabla 2. Casos de Integración por fraccionesparciales.

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Dependiendo del caso que te encuentres:

A continuación se presentan algunos ejemplos:

Caso 1. Ejemplo 1
Calcula la integral

(2x + 3)dx

∫ x³ + x² − 2x

Solución
Comienza por factorizar completamente el denominador del integrando y queda:
2x + 3
2x + 3
2x + 3
=
=
x³ + x² − 2x x( x² + x −2) x( x + 2)( x − 1)

Ahora que se tiene completamente factorizado el denominador, se puede observar que todos
los factores son lineales y que ninguno se repite, por lo tanto se trata de una integral del caso
1. Separando en fracciones parciales de acuerdo al caso 1, tienes:
2x + 3
2x + 3
2x + 3
A
B
C
=
=
= +
+
x³ + x² − 2x x( x² + x − 2) x( x + 2)( x − 1) x x + 2 x − 1

El paso...