Integración

Apuntes de Integración de funciones
de una variable

Miguel Martín Suárez
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

I NTEGRACIÓN

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE

1 Sumas de Riemann. Definición de área y de integral.
Sea f : [ a, b] → R una función continua y positiva. Representaremos por G ( f , a, b) la región del
plano comprendida entre la curva y = f ( x ), eleje de abscisas y las rectas y = a, y = b (es la región
pintada en gris en la figura de abajo).

a

b

Nos proponemos calcular el área de dicha región. Puesto que, en general, la figura no puede
descomponerse en triángulos, rectángulos o cualquier otro tipo de figura elemental, no hay una
fórmula que nos permita calcular directamente su área. En situaciones como esta, una estrategia
básicaconsiste en obtener soluciones aproximadas que permitan definir el valor exacto del área
como límite de las mismas. Fíjate que, al proceder así, estamos definiendo dicho valor exacto, es
decir, estamos dando una definición matemática del concepto intuitivo de área.
¿Qué ocurre cuando la función f no es positiva?
Parece útil, y de hecho lo es en muchas situaciones,
compensar el área que se quedapor encima del eje OX
con el área que se queda por debajo del eje OX, esto es,
considerar positiva el área gris claro y negativa el área
gris oscuro de la figura de la derecha.
Quedará todo más claro si definimos la parte positiva y la parte negativa de una función, que permite
escribir cualquier función como diferencia de dos funciones positivas.

• Parte positiva y parte negativa de unafunción

Sea f : [ a, b] −→ R una función continua; siempre podemos escribir f como diferencia de dos
funciones continuas y positivas: su parte positiva y su parte negativa (ver figura en la siguiente
página).
Se define la parte positiva de f como la función f + : [ a, b] −→ R dada por
f + ( x ) = m´ x{ f ( x ), 0}
a

y la parte negativa de f como f − : [ a, b] −→ R,

f − ( x ) = m´ x{− f ( x), 0}
a

x ∈ [ a, b],
x ∈ [ a, b].

Integración en una variable

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Parte positiva.

⇒
Gráfica de f .

Parte negativa.

Es rutinario comprobar que que f + y f − son funciones continuas y positivas y que
f = f+− f−

| f | = f + + f −.

Nuestra idea es ver la integral de una función (que ahora definiremos) como un “área con signo”:
el área bajo la parte positiva menos el áreabajo la parte negativa, esto es,
área G ( f + , a, b) − área G ( f − , a, b) .
Lo que vamos a hacer es aproximar esa “área con signo” de la que hablamos arriba usando
rectángulos, por exceso y por defecto, de la siguiente forma. Primero, se divide el intervalo [ a, b]
en un número finito de subintervalos [ x k−1 , xk ], 1 k n, cuyas longitudes pueden ser distintas
y con la única condición deque no se solapen:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < x n−1 < x n = b;
se dice que estos puntos constituyen una partición de [ a, b]. Definamos
Mk = sup f [ x k−1 , xk ],
Los números
S( f , P) =

n

∑ Mk ( x k − x k − 1 ) ,

mk = ´nf f [ x k−1 , xk ].
ı
I ( f , P) =

n

∑ m k ( x k − x k −1 ) ,

k =1

k =1

se llaman, respectivamente, suma superior y suma inferior de f para lapartición P.

a

b

a

Suma superior.

b

Suma inferior.

Observaciones:
• Cuando f es positiva, S( f , P) es un valor aproximado por exceso de área G ( f , a, b) e I ( f , P)
es un valor aproximado por defecto de área G ( f , a, b) , esto es,
I ( f , P)

área G ( f , a, b)

S ( f , P ).

Integración en una variable

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• Cuando f toma valores positivos y negativos, S( f , P)es un valor aproximado por exceso
de área G ( f + , a, b) − área G ( f − , a, b) e I ( f , P) es un valor aproximado por defecto de
área G ( f + , a, b) − área G ( f − , a, b) , esto es,
área G ( f + , a, b) − área G ( f − , a, b)

I ( f , P)

S ( f , P ).

La idea ahora es “tomar límite”, esto es, considerar particiones en los que los rectángulos
tengan cada vez una base más pequeña....