Integral curvilinea

Integral curvilínea
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En matemáticas, una integral curvilínea (a veces llamada integral de camino) es una integral donde la función a integrar hay que evaluarla a lo largo de una curva. En el caso de una curva cerrada se denomina también integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integralcurvilínea es la suma de los valores del campo a todos los puntos de la curva, ponderados por alguna función escalar de la curva (normalmente la longitud del arco o, por el caso de un campo vectorial, el producto escalar del vector de los campo a cada punto de la curva por un vector diferencial de la curva. Esta ponderación (y el hecho que la curva sea al espacio) distingue la integral curvilíneade las simples integrales definidas en un intervalo. Muchas fórmulas sencillas de la física (la del trabajo mecánico por ejemplo, [pic]) tienen expresiones continuas análogas en términos de integrales curvilíneas ([pic]). La integral curvilínea determina el trabajo hecho sobre un objeto que se mueve, por ejemplo, en un campo eléctrico o gravitacional.
[pic]
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La trayectoria de una partículaa lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. A la parte inferior se muestran los vectores que encuentra la partícula a lo largo de su recorrido. La suma del productos escalars de estos vectores con el vector tangente a la curva a cada punto de la trayectoria será el resultado de la integral de camino.
Intuitivamente se puede interpretar esta integral curvilínea pensando que el campogravitacional aplica al objeto una fuerza diferente en cada punto (la magnitud y la dirección de esta fuerza depende de la distancia del punto a las masas que generan el campo gravitacional). Al moverse el objeto (resiguiendo la curva) una distancia infinitesimal ds, el campo gravitatorio hace sobre él un trabajo igual al producto de la fuerza por el desplazamiento ds por el coseno del ángulo entreel vector bastante y el vector desplazamiento. La suma de todos estos trabajos infinitesimals es el valor de la integral curvilínea. La integral curvilínea se puede calcular con métodos numéricos, por ejemplo aproximando los desplazamientos infinitesimals por desplazamientos pequeños pero finitos o transformándola en una integral definida en un intervalo y entonces aplicando las técnicas pararesolver este tipo de integrales.

|Contenido |
|[esconde] |
|1 Integral curvilínea de un campo escalar |
|2 Integral curvilínea de un campo vectorial |
|2.1 Independencia delcamino |
|3 Aplicaciones |
|4 Ved también |
|5 Enlaces externos |

[pic]Integral curvilínea de un campo escalar
Por un campo escalar f : Uno ⊆ R 'No se pudo entender (función desconocida\tono): \tono
R, la integral curvilínea a lo largo de una curva C ⊂ Uno se define cómo
[pic]
donde r: [a, b] No se pudo entender (función desconocida\tono): \tono
C es una parametrización arbitraria de la curva C tal que r(a) y r(b) dan los puntos extremos de C.
De la función f se llama que es la integrand, la curva C es el dominio deintegración, y el símbolo ds se puede interpretar como la longitud del arco elemental. Las integrales curvilíneas de los campos escalars no dependen de la parametrización elegida r.
Integral curvilínea de un campo vectorial
Por un campo vectorial F : Uno ⊆ R ' No se pudo entender (función desconocida\tono): \tono
R ', la integral a lo largo de una curva C ⊂ Uno, en la dirección de r, se define cómo...