Integral de gaus

Integral de Gauss
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Función gaussiana [pic]. El área encerrada bajo esa curva con el eje x es [pic].
En matemáticas la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad,es la integral impropia de la función gaussiana [pic] sobre toda la recta de los reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es:

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Estaintegral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier. También aparece en la definición de lafunción error. A pesar de que noexiste ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, la integral Gaussiana puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo.O sea, no existe una integral indefinida elemental para [pic], pero si es posible evaluar la integral definida[pic].

|Contenido |
| [ocultar]|
|1 Cálculo de la integral |
|2 Relación con la función gamma |
|3 Generalizaciones ||4 Referencias |

[editar]Cálculo de la integral

La forma más común de calcular la integral de Gauss en el plano R2 es mediante la integración doble en el sistemacartesiano de coordenadas, para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera:

▪ Mediante el teorema de Fubini, laintegral puede ser escrita como:

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▪ Pero también puede ser calculada mediante el cambio de coordenadas a coordenadas polares:

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donde el factor r esconsecuencia de calcular el determinante del cambio de las coordenadas cartesianas a polares, y s aparece al hacer uncambio de variable tal que s = - r2, ds = -2rdr. Así pues, obtenemos:

[pic]...