Integral de reiman

LA INTEGRAL DE RIEMANN
Introducción
Encontrando el área de un círculo de radio r
cálculo del volumen de una pirámide
Un problema de trabajo mecánico
Calculando la distancia recorrida a partir de la velocidad instantánea
Funciones monótonas
El área bajo la parábola y = x2 en el intervalo [0, 1]
Sumas superiores e inferiores para funciones monótonas
Criterio de integrabilidad parafunciones monótonas
La Integral de f(x) = 1-x2 en [0, 1],  como límite se sumas
La Integral de f(x) = x3 en [-1, 0],  como límite se sumas
Hacia el Teorema Fundamental del Cálculo
    Ejercicios: Práctica 3
INTRODUCCION:
Iniciaremos el estudio de la Integral, uno de los conceptos más importantes de toda la matemática.
Los procesos de límite fundamentales del Cálculo son los de Derivación eIntegración. Algunos casos aislados de estos procesos fueron considerados en la antigüedad, aunque su desarrollo sistemático inició hasta el siglo XVII con los trabajos de Newton y Leibnitz.
En nuestros estudios elementales de Física y Matemáticas aprendimos a calcular áreas de ciertas figuras geométricas como rectángulos, volúmenes de paralelepípedos; trabajo mecánico desarrollado por una fuerzaconstante; la distancia recorrida por un cuerpo en movimiento rectilíneo a una cierta velocidad media, etc. En todos ellos la única herramienta matemática utilizada, es la operación fundamental de la multiplicación.
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En esta sección, a partir del concepto de Integral construiremos una herramienta que, entre otras cosas, nos permitirá resolver problemas más generales que los anteriores, esdecir, determinar áreas de figuras y volúmenes de sólidos para las que la geometría no nos da una fórmula; el trabajo desarrollado por una fuerza variable en todo el recorrido; la distancia recorrida por un móvil cuando la velocidad varía en cada instante, etc.
En la siguiente ilustración se muestran algunas de éstas generalizaciones.
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En el estudio de estas nuevassituaciones, la operación fundamental de la multiplicación es insuficiente, por lo que tenemos que hacerla evolucionar a una nueva herramienta más potente que permita solucionar este tipo de problemas.
Observación. En este sentido, como herramienta aplicada a la solución de este tipo de problemas, diremos que la INTEGRAL es una "operación avanzada" que generaliza a la "operación elemental" de laMULTIPLICACION, al igual que la DERIVADA generaliza a la DIVISION.
Además de ser una herramienta necesaria y útil, la Integral constituye una Teoría Matemática completa y rigurosa.
  
 
 
ALGUNOS PROBLEMAS PARA MOTIVAR EL CONCEPTO DE INTEGRAL
En los siguientes ejemplos resolveremos problemas de área, volumen, trabajo mecánico desarrollado por una fuerza no necesariamente constante y cálculo de ladistancia recorrida por un cuerpo en el instante t, dada su velocidad instantánea. En los primeros dos encontraremos el área de un círculo de radio r, y el volumen de una pirámide, basándonos en una idea muy antigua, propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 A.C. y desarrollada posteriormente por el matemático griego Eudoxio. Se le conoce como el "Método de Exhauciónde Eudoxio". En los otros, abordaremos dos problemas del campo de la Física; uno de trabajo mecánico y otro del cálculo de la distancia dada la velocidad instantánea.
Ejemplo 1. Encuentre el área de un círculo de radio r.
Solución: El método de exhaución de Eudoxio consiste en aproximar el área del círculo por áreas de polígonos regulares inscritos, en los cuales por supuesto la aproximación noes buena si el número de lados es pequeño; pero si consideramos polígonos con un número cada vez mayor de lados, las áreas de éstos se aproximarán cada vez más al área del círculo, como se aprecia en la figura.
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En cada caso, el área del polígono es menor que el área del círculo; pero si incrementamos el número de lados del polígono, entonces dentro de éste se incluirá más área del...