Integral De Riemann

Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo enrojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.
La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particionesetiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

 y denotamos la partición como Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.

Esto divide alintervalo [a,b] en n subintervalos [xi−1, xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado ti de; [xi−1, xi]. Sea Δi = xi−xi−1 la anchura del subintervalo i;el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta particiónetiquetada se define como

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y dela misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:
Para todo ε > 0 existe x δ > 0 tal que,para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene
, donde 

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, elsumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.