Integral de Riemann
Páginas: 3 (503 palabras)
Publicado: 8 de junio de 2014
Resumen del Tema 9b: Integral de Riemann
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.
Notación
a
R
a
R
f =0
a
Propiedades
b
f =−
b
R
f
a1. Si f es positiva su integral representa gráficamente el área que la curva y = f (x) y el eje OX
encierran en el intervalo [a, b].
2.
b
Z
c
b
Z
Z
f = f+
f
a
a
c
3.
b
Z
ab
b
Z
Z
f + g = f+
g
a
a
4.
b
Z
αf = α
a
b
Z
f
a
Teorema fundamental del cálculo integral
Para la función
x
Z
F (x) = f
a
se tiene que F es derivable enx y que
F 0 (x) = f (x)
Regla de Barrow
b
Z
f = F (b) − F (a)
a
siendo F una primitiva de f
Integración por partes
b
Z
udv = [uv]
a
b
a
−
b
Z
a
1
vdu Cambios de variable
Si hacemos el cambio
en la integral
x = ϕ(t)
b
R
f (x)dx
a
obtendríamos
b
Z
a
d
Z
f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
c
teniendo en cuenta que
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Derivación de funciones dadas mediante integrales
La derivada de la función
hZ
2 (x)
f (t)dt
G(x) =
h1 (x)
es
G0 (x) = f (h2 (x)) · h02 (x) − f (h1 (x)) · h01 (x)
Integralesimpropias
+∞
Z
f = [G(x)]
+∞
a
= lim G(x) − G(a)
b
Z
f = [G(x)]
b
−∞
= G(b)− lim G(x)
x→+∞
a
−∞
x→−∞
Para una función f : [a, b[→ R se tiene que
b
Z
f = [G(x)]b
a
= lim G(x) − G(a)
b
a
= G(b)− lim G(x)
x→b−
a
y para una función f :]a, b] → R se tiene que
b
Z
f = [G(x)]
x→a+
a
Área plana encerrada por una función f
b
Z|f |
a
2
Área plana encerrada por dos funciones f y g
b
Z
|f − g|
a
Volúmenes de revolución
b
Z
πf (x)2 dx
a
Integrales dobles en R2
1. La integral es lineal.
2. Laintegral a lo largo de una unión de conjuntos se pone como la suma de las integrales a lo
largo de cada uno de los conjuntos.
3. La integral de una función no negativa es no negativa.
Si R =...
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.
Notación
a
R
a
R
f =0
a
Propiedades
b
f =−
b
R
f
a1. Si f es positiva su integral representa gráficamente el área que la curva y = f (x) y el eje OX
encierran en el intervalo [a, b].
2.
b
Z
c
b
Z
Z
f = f+
f
a
a
c
3.
b
Z
ab
b
Z
Z
f + g = f+
g
a
a
4.
b
Z
αf = α
a
b
Z
f
a
Teorema fundamental del cálculo integral
Para la función
x
Z
F (x) = f
a
se tiene que F es derivable enx y que
F 0 (x) = f (x)
Regla de Barrow
b
Z
f = F (b) − F (a)
a
siendo F una primitiva de f
Integración por partes
b
Z
udv = [uv]
a
b
a
−
b
Z
a
1
vdu Cambios de variable
Si hacemos el cambio
en la integral
x = ϕ(t)
b
R
f (x)dx
a
obtendríamos
b
Z
a
d
Z
f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
c
teniendo en cuenta que
ϕ(c) = aϕ(d) = b
Derivación de funciones dadas mediante integrales
La derivada de la función
hZ
2 (x)
f (t)dt
G(x) =
h1 (x)
es
G0 (x) = f (h2 (x)) · h02 (x) − f (h1 (x)) · h01 (x)
Integralesimpropias
+∞
Z
f = [G(x)]
+∞
a
= lim G(x) − G(a)
b
Z
f = [G(x)]
b
−∞
= G(b)− lim G(x)
x→+∞
a
−∞
x→−∞
Para una función f : [a, b[→ R se tiene que
b
Z
f = [G(x)]b
a
= lim G(x) − G(a)
b
a
= G(b)− lim G(x)
x→b−
a
y para una función f :]a, b] → R se tiene que
b
Z
f = [G(x)]
x→a+
a
Área plana encerrada por una función f
b
Z|f |
a
2
Área plana encerrada por dos funciones f y g
b
Z
|f − g|
a
Volúmenes de revolución
b
Z
πf (x)2 dx
a
Integrales dobles en R2
1. La integral es lineal.
2. Laintegral a lo largo de una unión de conjuntos se pone como la suma de las integrales a lo
largo de cada uno de los conjuntos.
3. La integral de una función no negativa es no negativa.
Si R =...
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