Integral de Riemann

1. La integral de Riemann.

Introducción: Se sabe que hace unos 2’500 años los egipcios, los babilonios y los griegos ya tenían dominado el conocimiento y el uso de reglas bien definidas paramedir el área delimitada por formas básicas (rectángulos, triángulos y circunferencias). Digamos que estas reglas fueron sus fórmulas, mismas que combinaron para resolver problemas de lo cotidiano, talescomo conocer una magnitud de la superficie ocupada por terrenos de formas simétricas, conocer y que sumaron para resolver problemas aún más interesantes: conocer el área de un terreno con formairregular.

El problema de conocer el área encerrada por una curva (entiéndase por curva a una sucesión de puntos que se traza sobre un plano en cualquier trayectoria regular o irregular) con el paso deltiempo adquirió mayor precisión debido al uso de técnicas y teorías más sofisticadas, pero que siguieron siendo aproximaciones, lo cual implica la existencia de un error y la posibilidad de sóloencontrar intervalos en los que se encontraba el valor exacto buscado para el cálculo del área.

Ya entrado el siglo XIX, Bernard Riemann retomó la idea de Arquímedes acerca de aproximarse a la medida deuna área cubriéndola con rectángulos de áreas conocidas y luego sumando las áreas de dichos rectángulos. Con esto, lo que hizo Riemann fue incrementar la cantidad de rectángulos reduciendo lalongitud de sus bases y de esta forma la aproximación es más precisa; pero siguió siendo una aproximación.

1.1 Sumas superiores e inferiores.

Definición: Sea un intervalo acotado en Definimos a unapartición del intervalo como un conjunto finito y ordenado de puntos en el intervalo, tales que:



...a esta partición la denotaremos por

Lo anterior significa que estamos partiendo elintervalo en subintervalos de longitud y además, aunque no se menciona, estos subintervalos no necesariamente tienen la misma longitud. Cuando los subintervalos son iguales en tamaño, se dice que la...