Integral Definida - Área Bajo Una Curva

ÁREA BAJO UNA CURVA[1]


Problema: “estimar el área debajo de la parábola [pic] en el intervalo [0;1]”.

Solución: Se empieza dividiendo al intervalo en 4 subintervalos, siendo sus extremos los valores de abscisa: x0 = 0; x1 = ¼; x2 = 2/4; x3 = ¾ y x4 = 1, resultando que la superficie bajo la curva quede dividida en 4 rectángulos, cuyas bases miden ¼ y cuyas alturas miden f(x0), f(x1),f(x2) y f(x3) respectivamente; es decir, las alturas de los rectángulos son las imágenes de la función en los extremos izquierdos de cada subintervalo; corresponden así a los denominados rectángulos inscriptos (Fig.1). Para estimar el área bajo la parábola, se procede a calcular el área de cada uno de los rectángulos y luego sumarlas, obteniendo así un resultado, próximo al real.
En símbolos:[pic] [pic].

De igual modo, pueden considerarse 4 rectángulos cuyas bases miden ¼ y sus alturas f(x1), f(x2), f(x3) y f(x4), respectivamente, correspondiendo a las imágenes de la función en los extremos derechos de cada subintervalo; se obtienen así los denominados rectángulos circunscriptos (Fig.2). Sumando las áreas de cada rectángulo, se obtiene una estimación del área real.
En símbolos:[pic][pic]


[pic][pic]
Fig.1 Fig.2

Estimamos que el área bajo la curva en el intervalo dado, es un valor comprendido entre la suma de las áreas de los rectángulos inscriptos (SRI) y la suma de las áreas de los rectángulos circunscriptos (SRC):
0,21875 < Área verdadera < 0,46875.

Si se aumenta la cantidad de divisiones del intervalo [0; 1], se observa queestas sumas van cambiando. En la siguiente tabla se muestran las sumas de los rectángulo inscriptos y circunscriptos, cuando n (la cantidad de divisiones) toma los valores 10, 50, 100 y 1000:

|n |SRI |SRC |
|10 |0,2850 |0,3850 |
|50 |0,3234 |0,3434 |
|100 |0,3283 |0,3383 |
|1000 |0,3328 |0,3338 |
|. |.|. |
|. |. |. |
|. |. |. |

Estudiando el comportamiento de los valores de la tabla, las dos sumas se acercan a un valor, que representaría al valor real del área. En términos de limites: “el área real bajo la curva es el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos inscriptos y de los rectánguloscircunscriptos”. Más adelante, demostraremos que ese límite es 1/3.

En general, el planteo de un problema similar, para cualquier función continua y = f(x), en un intervalo cerrado I = [a; b], sería evaluar el área A bajo la curva de f, siendo además f(x) ≥ 0, (x ( I.

Procedimiento
Se divide al intervalo I, en n partes: a = x0; x1; x2;…¸ xn = b; se obtienen así n subintervalos (no necesariamente de la mismalongitud): (x1 = x1 – x0; (x2 = x2 – x1; (x3 = x3 – x2;….; (xn= xn – xn-1;
Para un subintervalo cualquiera: (xi = xi – xi-1;
Se determinan así n rectángulos cuya base es (xi y altura f(xi-1) (para los inscriptos) y de altura f(xi) para los circunscriptos. Calculando el área de cada rectángulo y sumando las áreas, se obtiene la suma inferior y la suma superior, respectivamente, que sonaproximaciones del área bajo la curva de f en I:

Suma inferior:
[pic]
Suma superior:
[pic]
En la medida en que aumenta la cantidad de divisiones en [a;b], también lo hace la cantidad de rectángulos que se obtienen y disminuye la longitud de (xi , por ello, las sumas inferiores y superiores se modifican, acercándose , en general, a un número.
En detalle, realizamos el análisis en un subintervalo (xi= xi – xi-1. Por ser f continua en dicho intervalo, alcanza un máximo Mi y un mínimo mi absolutos. Supongamos mi = f(xi-1) y Mi = f(xi). (Fig.3)


[pic]
Fig.3

Si en cada subintervalo (xi se toma un punto intermedio xi*, y se considera su imagen como altura del rectángulo, en el intervalo [a;b] quedan determinados n rectángulos, donde una estimación del área bajo la curva viene...