integral definida entre curvas

Matemáticas III

Unidad II: Integración

Integral Definida

AREA ENTRE DOS FUNCIONES
Figura 5

y

¿Cómo podemos calcular el área que se encuentra entre dos
funciones? Vamos a ver como se hace esto con un ejemplo primero, y
luego generalizamos los resultados obtenidos.
Para ello vamos a tomar las funciones

f ( x)  x 2

f ( x)  x 2 y

g ( x)  27  2 x 2

g ( x)  27  2 x. En la figura 5, tenemos la gráfica de las funciones,
2

y podemos ver que las líneas se cruzan en el punto donde

x

b

x  b.

¿Cómo calculamos el área entre las funciones? Veamos esto con calma y en detalle.

Figura 6

y
f ( x)  x 2

En la figura 6 hemos marcado el área que queremos
calcular con un entramado en verde y lo hemos distinguido con la
letra A.
Losconocimientos de las Integrales Definidas que hemos
adquirido hasta ahora nos permiten:

A

1. calcular el área entre cada una de las curvas y el eje de las x,
g ( x)  27  2 x 2

x

b

2. podemos calcular el área en varios intervalos diferentes,
3. incluso áreas por encima y por debajo del eje horizontal.
Pero aún no sabemos calcular el área entre dos curvas.

Veamos entonces si lo quesabemos nos puede ayudar a calcular el área solicitada.
En las figuras 7 y 8 representamos el área bajo

f ( x)  x 2 y g ( x)  27  2 x 2

respectivamente. Con lo aprendido en la clase de hoy tenemos que
Figura 7

y

las áreas A1 de la figura 7, es:
Figura 8

b

A1   f ( x)dx

f ( x)  x 2

y

0

Mientras que A2, figura 8, es:
A1

b

A2

b

A2   g ( x)dx

x

g( x)  27  2 x 2

0

Ahora si agrupamos todo en una solo figura veamos si esto
nos permite trazar una estrategia para resolver la interrogante planteada.

b

x

Si sobre la figura 8, que contiene a la función g (x) con su
Figura 9

y

f ( x)  x 2

área bajo la curva (A2) coloreada de verde, le colocamos la función
f (x) con el área bajo la misma coloreada de rojo (área A1 dela
figura 7) nos queda una imagen como la mostrada en la figura 9.

A2
A1

g ( x)  27  2 x 2

b

Fíjense que el área verde que “queda visible” coincide con el
área que debemos calcular mostrada en la figura 6.
Esto quiere decir que si a

x
decir

A2 le quitamos la parte roja, es

A1, nos da el área que estamos buscando, o sea, el Área entre

las dos Funciones.
Entonces laexpresión matemática que nos dará el Área entre las dos Funciones es igual a la
diferencia, o resta, del área “por debajo de la función” g (x) menos el área “bajo la función” f (x) .
Profesor León E. Hurtado

Área bajo la curva

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Unidad II: Integración

Integral Definida

Expresado esto en forma de ecuación tenemos:
b

b

0

0

A  A2  A1   g( x)dx   f ( x)dx
Cómo los límites de integración son iguales, aplicando la quinta propiedad de las Integrales
Definidas, podemos agrupar esa resta en una sola integral entre 0 y b, lo que quedaría así:
b

A   [ g ( x)  f ( x)]dx
0

Sustituyendo con las funciones específicas de nuestro ejemplo, esto nos quedaría así:
b

A   [(27  2 x 2 )  ( x 2 )]dx

Simplificando lostérminos semejantes en la integral:

0

b

Integramos aplicando las reglas: Suma, Constante y
potencia:

Simplificando el resultado antes de evaluar la integral:

  (27  3x 2 )dx
0

x3 b
 (27 x  3 ) |
3 0
b

A  (27 x  x3 ) |

0

Para poder terminar de resolver el problema necesitamos saber ¿cuál es el valor de b? ¿Cómo
podemos calcularlo? ¿Con qué información contamos parapoder hallarlo?

b es el valor de x en el que las dos funciones se
cruzan, se cortan, coinciden. Quiere decir que para ese valor de x el valor de cada una de las
funciones es el mismo. Es decir, que si evaluamos g (b) y f (b) debemos obtener el mismo resultado.
Si prestamos atención a la figura 6, el punto

Así que evaluamos las funciones, e igualamos el resultado de cada una de ellas...