Integral definida

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCUN

UNIDAD II
INTEGRAL INDEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

MATERIA:
CALCULO INTEGRAL

ALUMNO:
ALEJANDRO LOPEZ MANUEL

SEMESTRE:
2DO. SEMESTRE

Octubre del 2010

INTEGRAL DEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION.
2.1 DEFINICION DE INTEGRAL INDEFINIDA.
Definición de integral definida.
    Es el proceso contrario a la derivación.
    Dada una funciónf(x), se trata de calcular otra F(x) tal que F'(x)=f(x). Por ejemplo:
la derivada de y=5x es y'=5, la derivada de y=5x+3 es y'=5, la derivada de y=5x-2 es y'=5. Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte. El conjunto de todas las primitivas de una función se denomina integral indefinida, y serepresenta:
. En nuestro ejemplo,     en donde dx indica cual es la variable (en este caso sólo existe una posible) y c es la cte.
    Cualquier tabla de derivadas, leída al contrario, se convierte en una tabla de integrales.

la integral definida es definido como un límite. Vamos a intentar formalizar lo expuesto hasta ahora. Recuerda que en el apartado anterior hemos definido la norma de unapartición. La relación entre la norma y el nº de subintervalos que tomemos en una partición general [a,b] será: (b-a) / ||∆|| ≤ n
Si la norma tiende a cero, está claro que n (nº de subintervalos en [a,b]) tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral. El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalos no implicanecesariamente que la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera: Como ves, los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños, cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita que tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n.
Tomemos pues el límite siguiente: El queexista dicho límite implica que para todo ε > 0, existirá un δ > 0 tal que si:
∆ | < δ |
Entonces se cumple.
Intuitivamente ésto quiere decir que: A medida que hago más pequeña la norma, el valor del sumatorio se aproxima cada vez más al límite L. Ahora estamos en condiciones de dar la definición de Integral definida Si f(x) está definida en el intervalo [a,b] (única condiciónimpuesta por Riemann, puesto que ahora la definición de Integral definida va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva) Y existe el límite (tal y como lo hemos definido arriba) Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y lo escribimos
A a y b se le llaman límites inferior y superior de integración. En la práctica, el cálculo de las integrales definidasse basa en el Teorema fundamental del Cálculo (descubierto por distintos caminos por Newton y Leibniz). Este teorema viene a decir que la derivación y la integración son operaciones inversas y que para calcular la integral se realiza una antiderivación que consiste en hallar una función primitiva F(x) de aquella a la que se le quiere
Calcular la integral f(x) y operar de lasiguiente forma:
( F’(x) = f(x) + cte. )
2.2 PROPIEDADES DE INTEGRAL INDEFINIDA.
Propiedades de las integrales indefinidas
Por la definición, la derivada de la función integral indefinida es igual a la función integrando:
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones:
La integral indefinida del producto de un número real     por una función esigual al producto de     por la integral indefinida de la función:
Para demostrar las últimas dos igualdades basta con derivar los dos terminos en ambas igualdades.
2.3 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS.
2.3.1 Directas.
Directa
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función...