Integral definida

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap 3 La Integral Definida

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3.1 DEFINICIÓN 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8 PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD INTEGRAL DE DE DE DE DE DE DE DE LINEALIDAD ADITIVIDAD COMPARACIÓN ACOTAMIENTO SUSTITUCIÓNSIMETRÍA PERIODICIDAD LA DERIVADA DE UNA

Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales definidas aplicando teoremas y propiedades

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3.1 DEFINICIÓN
Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva y = f (x ) .

El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución aesta problemática. Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura:

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha denotado como x . El área del primer rectángulo sería A1 = f ( x1 ) ∆x1 , el área del segundorectángulo sería A2 = f ( x 2 )∆x2 ; y así , el área del n-ésimo rectángulo sería An = f ( x n ) ∆xn .

xn

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Observe que si tomamos x1 = x1 , x 2 = x2 , x 3 = x3 , …, x i = xi , se tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma x1 = x0 , x 2 = x1 ,

x 3 = x2 , …, x i = xi −1 se tendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreasde los n rectángulos sería:

f x1 ∆x1 + f x 2 ∆x2 + f x 3 ∆x3 + K + f x n ∆xn
Que de manera abreviada tenemos:
n i i =1

( )

( )

( )

( )

∑ f (x )∆x

i

Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:

⎡ n⎤ A = lím ⎢ f x i ∆xi ⎥ n →∞ ⎣ i =1 ⎦
De aquí surge la definición de Integral Definida.

∑ ( )

Sea f una función que está definida en el intervalo [a, b] . Al lím ⎡∑ f (x i )∆xi ⎤ se le denomina la integral definida (o n →∞ ⎢ ⎥ ⎣ i =1 ⎦ integral de Riemann) de f de " a " a " b " y se denota de la
n

siguiente manera: ∫ f ( x)dx .
a

b

Además, si existe este límite decimos que f esintegrable en [a, b] .
Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable.

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3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Si f es acotada en [a, b] y si f es continua a excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable [a, b] . En particular si f es continua en todo [a, b] entonces esintegrable en [a, b]
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva f ( x ) = x en
2

[1,3]

SOLUCIÓN: Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
A = lím
n →∞

∑ f ( x )∆x = lím [ f ( x )∆x + f ( x )∆x
i i i =1 n→∞ 1 1 2

n

2

+ f ( x 3 ) ∆x3 + K + f ( x n )∆xn ]

PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos x 1 = x1 , x 2 = x 2 , x 3 = x3 , …, x i = xi Representando laregión, tenemos:

y = x2

x 0 x1 x 2
{{
∆x ∆x

{
∆x

xn

Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos

∆x =
y

b − a 3 −1 2 = = n n n

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x0 = a = 1
x1 = x 0 + ∆x = 1 + 2 n

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4 ⎛2⎞ x 2 = x1 + ∆x = x 0 + 2∆x = 1 + 2⎜ ⎟ = 1 + , n⎠ n ⎝

6 ⎛2⎞ x 3 = x 2 + ∆x = x 0 + 3∆x = 1 + 3⎜ ⎟ = 1+ n ⎝n⎠ M ⎛2⎞ x i = x 0 + i∆x = 1 + i∆x = 1 + i ⎜ ⎟ ⎝n⎠
Entonces:

A = lím [ f (x1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + L f (x n )∆x ]
n →∞

= lím

n →∞

∑ f ( x )∆x
i

n

= lím

n →∞

∑
i =1

i =1 n

2⎞ 2 ⎛ ⎜1 + i ⎟ n⎠ n ⎝
2

2

= lím

2 n →∞ n

4 ∑ ⎛⎜⎝1 + i n + i
i =1

n

4 ⎞ ⎟ n2 ⎠

n n n ⎤ 2⎡ 4 4 ⎢ i+ 2 i2 ⎥ 1+ n →∞ n ⎢ ⎥ n n i =1 i =1 ⎣ i =1 ⎦ 2⎡ 4 n(n...