Integral definida

INTEGRAL DEFINIDA

“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se vadisminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”---Isaac Newton.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x. Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas,obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos unvalor xi, dentro del intervalo a,b, tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotaslas de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejoraproximación del área que buscamos

que es equivalente a,

con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,

Por lo tanto podemosdeducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo, es una s mayúscula alargada,que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.