Integral Definida

Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b]∈ ℝ, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b.

Integral definida

Se representa por ∫������������ ������������(������������)������������������������. ∫ es el signo de integración.
������������

a límite inferior de la integración. b límite superior de laintegración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Propiedades de la integral definida 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a,b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
1

Función integral
Sea f(t) una función continuaen el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Teoremafundamental del cálculo
Sea f(x) una función continua en (a,b). Sea Entonces F'(x) = f(x)

������������(������������) = ∫ ������������(������������)������������������������= ������������
������������

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la funciónoriginal. Ejemplos Calcular la derivada de las funciones:

2

Regla de Barrow
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral. La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una funciónprimitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
3

Ejemplos Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

4

Calculamos la integral definida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Integramos por partes.

También se puede hacer sin transformar los límites de integración y volviendo a la variable inicial.Teorema de la media
El teorema de la media o teorema del valor medio para integrales dice que: Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

5

Ejemplos 1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1]. Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar elteorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo. 2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

6

Ejemplos de integrales definidas 1

2

3

4

5

6

7

7

8

9

10

11

12

813

14

9

15

Aplicaciones de la integral
Área de una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo...