integral definida

UNIDAD Nº2
INTEGRAL DEFINIDA

2.1

Área por Sumatorias o Suma de Áreas

Es fácil calcular el área de una región plana cuando está limitada por líneas.
Por ejemplo, si la región es unrectángulo, un triángulo o cualquier polígono
que se pueda dividir en triángulos, existen fórmulas que permiten determinar
su área:
Para encontrar área de regiones cuyos límites no son rectas sino gráficasde
funciones, es necesario utilizar un proceso que se fundamenta en el concepto
de límite.
Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de
la función continua f es ellímite de la suma de las áreas de los rectángulos de
aproximación:
A  lím ( f ( x1 )x  f ( x2 )x  f ( x3 )x  .... f ( xn )x)
n

Se puede demostrar que el límite de la definiciónsiempre existe, puesto que se
supone que f es continua. También es posible demostrar que se obtiene el
mismo valor con los puntos extremos de la izquierda o con cualquier punto xi*
en el intervalo xi 1, xi  , ver figura.

Mat-390
Instituto de Matemática, Física y Estadística

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2.2

Suma de Riemann

Si f es una función continua definida para a  x  b , dividimos el intervaloa, b en

n partes iguales. Subintervalos de igual ancho x 

ba
. Denotamos
n

con x0  a, x1 , x2 , ....x n  b los puntos extremos de estos subintervalos y
elegimos un punto en elinterior de cada intervalo que denotaremos
*
*
*
x1 , x2 , ....., xn , de modo que xi* se encuentra en el i-ésimo subintervalo xi 1 , xi  .
Entonces la integral definida de f desde a hasta b ,es

b


a

f ( x)dx  lím

n 

n

 f (x
i 1

*
i

)x

Debido a que hemos supuesto que f es una función continua, se puede probar
que el límite de la definición siempreexiste y da el mismo valor, sin importar
como elijamos los puntos muestra xi* . Si tomamos como puntos muestra los
puntos extremos izquierdos, entonces xi*  xi 1 .
Interpretación geométrica de la...