Integral Definida

Integral Definida:
Hemos definido la integral como un límite.
La relación entre la norma y el nº de subintervalos que tomemos en una
partición general [a,b] será:
(b-a) / ||∆|| ≤ n
Si lanorma tiende a cero, está claro que n (nº de subintervalos en [a,b])
tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral.
El caso contrario no siempre es cierto, esdecir, el que haya infinitos subintervalos
no implica necesariamente que la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición
del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:
Como ves, lossubintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños,
cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita
que tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será lanorma de la partición ∆n.
Tomemos pues el límite siguiente:
El que exista dicho límite implica que para todo ε > 0, existirá un δ > 0
tal que si:
∆ | < δ |
entonces se cumpleIntuitivamente ésto quiere decir que:
A medida que hago más pequeña la norma, el valor del sumatorio se aproxima cada vez más al límite L.
Ahora estamos en condiciones de dar la definición de Integraldefinida
Si f(x) está definida en el intervalo [a,b]
(única condición impuesta por Riemann, puesto que ahora la definición de Integral definida
va a ser mucho más amplia que la que dimos para elcálculo del área bajo una curva)
Y existe el límite
(tal y como lo hemos definido arriba)
Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b]
y lo escribimos
A a y b se le llaman límitesinferior y superior de integración.
En la práctica, el cálculo de las integrales definidas se basa en el Teorema fundamental del Cálculo
(descubierto por distintos caminos por Newton y Leibniz).Este teorema viene a decir que la derivación y la integración son operaciones inversas
y que para calcular la integral se realiza una antiderivación
que consiste en hallar una función primitiva...