Integral Definida

INTEGRAL DEFINIDA

Tema básico y fundamental del calculo, se emplean sumas de muchos números. Para expresar estas sumas es conveniente usar la notación de sigma o notación de suma, representadapor la letra griega ∑.

NOTACION SUMATORIA

i=1n ai=a1+a2+a3+…+an

* La letra Griega mayúscula ∑ (sigma) indica Suma.
* El símbolo a representa el termino i-esimo o termino integral.
*A la letra i se le denomina índice o variable de la suma

Ejemplo:

Representar la suma de los primeros 10 números, positivos mediante la notación de suma.
Encontrar el término general y losvalores externos.
Tenemos ai=1 (por que se van a sumar los números conforme se van apareciendo y los números 1 y 10 serian los extremos, concluimos entonces:
1+2+3+…+10=i=110i

Con estaformula es posible resolver la “situación del Problema”

PROPIEDADES DE LA SUMA

Siendo n cualquier numero entero positivo y si
Son conjuntos de números y c cualquier numero entonces:

PROPIEDAD1:
i=1nai±bi=i=1nai±i=1nbi

PROPIEDAD 2:

i=1ncai=ci=1nai

Además de las propiedades anteriores, serán de gran utilidad las siguientes formulas:
Formula 2.1
i=1n1=n

Formula 2.2
i=1nc=cnFormula 2.3
i=1ni=1+2+3+…+n=n(n+1)2

Formula 2.4
i=1ni2=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6

Formula 2.5
i=1ni3=13+23+33+…+n3=n(n+12 2

Formula2.6
i=1ni4=14+24+34+…+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)30Formula 2.7
i=0nc=c (n+1)

En cada Formula debemos recordar que:
N es el extremo superior de la suma, es decir, una constante.
I es la variable

Veamos un Ejemplo de las Formulas:Calcular:
i=1ni+1n2

Solución:
Podemos Rescribir
i=1ni+1n2

i=1ni+1n2



Pero
1n2

1n2


Es una constante, la cual multiplica a (i+1), por lo que:

Aplicando lapropiedad 2 Tenemos:
1n2 i=1n(i+1)


Aplicando la propiedad 1:

1n2i=1ni+i=1n1



Aplicando las Formulas 2.3 y 2.1, Respectivamente:
=1n2n(n+1)2+n


Haciendo...