Integral Definida

Como vimos en temas anteriores la primitiva de una función no es única, ya que existen infinitas primitivas, diferenciandose entre ellas en una constante. Es decir, si F(x) es una primitiva def(x) , existe todo un conjunto de primitivas (o integrales indefinidas): F(x) + C

De esta forma, si representamos la primitiva F(x) , cada función de la forma F(x) + Cresulta una traslación vertical de valor C de la función F(x).


Ejemplos:
1) Halla dos primitivas de la siguiente función:




Por lo tanto, dos primitivas de la función f(x)son:


PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:


(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x =a entonces     0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces   

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerradoalcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que
f(c)(b a) 
Demostración:
Primer caso: Si f esconstante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en elintervalo. Dado que m  f(x)  M  x  [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b a) M(b a)      entonces        m M.
Dado que f es continua el teoremadel valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que...