INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la la necesidad de formalizar el concepto de área y la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en elcálculo diferencial.

En geometría se han deducido fórmulas que permiten calcular el área de figuras planas tales como triángulos, rectángulos, cuadrados, etc. Sin embargo, cuando se trata de calcular áreas de figuras un poco más complicadas, el proceso no es tan sencillo como aplicar una fórmula previamente deducida.

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de lasáreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Teorema:

Si f escontinua en a,b, entonces f es integrable en a,b

∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica def(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.



Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.



2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.


3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dosintegrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].



4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.



5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.



6. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral esnegativa.

7. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando sehace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.


A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

La regla de Barrow dice que laintegral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.



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El teorema fundamental delcálculo dice que la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

EJEMPLOS
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Teorema de la media o del valor medio...