Integral Doble y el Jacobiano
Páginas: 6 (1387 palabras)
Publicado: 1 de noviembre de 2013
Las Integrales Dobles y el Jacobiano
Indice
Presentación
El presente trabajo brinda información acerca de las integrales, considerando conceptos básicos, históricos, teoremas, propiedades y ejercicios con el objetivo de reforzar y resaltar la importancia del tema en estudio.
La historia de cómo surgió el concepto de integral puede favorecer a unaprendizaje más significativo, proporcionando al proceso de enseñanza-aprendizaje de este tema de sentido y promoviendo el interés por parte del estudiante.
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.
1. ConceptosPreliminares
1.1. La integral definida
Para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera:
La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva
y = f (x) en un intervalo [a,b].
1.2. La doble integral
La doble integral de una función positiva f(x,y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumenentre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.
1.3. Definición e importancia del Jacobiano
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.
El jacobiano es simplemente un determinante que sirve para pasar o transformar de un sistema decoordenadas a otro. También se llama determinante funcional.
Por ejemplo para pasar de un sistema rectangular a polar, de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas esféricas, etc.
Se usa mucho en el análisis tensorial.
El Jacobiano es una matriz que se puede ver como la versión vectorial de la derivada de una función escalar. El Jacobiano es importante en el análisisy control del movimiento de un robot (planificación y ejecución de trayectorias suaves, determinación de configuraciones singulares, ejecución de movimientos coordinados, derivación de ecuaciones dinámicas).
La matriz jacobiana
Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad deaproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentesdiferentes aún tratándose del mismo objeto matemático.
2. Descripción Histórica de la Integral
Históricamente el concepto de integral comenzó hace más de veinte siglos, producto de la búsqueda de respuestas a los diferentes problemas geométricos que fueron surgiendo. Con el paso del tiempo, surgieron nuevos problemas relacionados con los fenómenos de la naturaleza (gravedad, movimiento,entre otros), lo que propició avances en la evolución del concepto, que por último llevaron al cálculo integral.
2.1. Arquímedes de Siracusa:
Calculó el volumen y la superficie de una esfera y de un cono y la superficie de una elipse y una parábola y expuso un método para calcular los volúmenes de revolución de segmentos de elipsoides, paraboloides e hiperboloides cortados por un planoperpendicular al eje principal.
2.2. Simón Stevin:
Sustituyó el método exhaustivo utilizado por Arquímedes por un método directo que representaba un gran paso hacia el concepto matemático de límite.
2.3. Johannes Kepler:
Se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles....
Las Integrales Dobles y el Jacobiano
Indice
Presentación
El presente trabajo brinda información acerca de las integrales, considerando conceptos básicos, históricos, teoremas, propiedades y ejercicios con el objetivo de reforzar y resaltar la importancia del tema en estudio.
La historia de cómo surgió el concepto de integral puede favorecer a unaprendizaje más significativo, proporcionando al proceso de enseñanza-aprendizaje de este tema de sentido y promoviendo el interés por parte del estudiante.
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.
1. ConceptosPreliminares
1.1. La integral definida
Para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera:
La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva
y = f (x) en un intervalo [a,b].
1.2. La doble integral
La doble integral de una función positiva f(x,y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumenentre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.
1.3. Definición e importancia del Jacobiano
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.
El jacobiano es simplemente un determinante que sirve para pasar o transformar de un sistema decoordenadas a otro. También se llama determinante funcional.
Por ejemplo para pasar de un sistema rectangular a polar, de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas esféricas, etc.
Se usa mucho en el análisis tensorial.
El Jacobiano es una matriz que se puede ver como la versión vectorial de la derivada de una función escalar. El Jacobiano es importante en el análisisy control del movimiento de un robot (planificación y ejecución de trayectorias suaves, determinación de configuraciones singulares, ejecución de movimientos coordinados, derivación de ecuaciones dinámicas).
La matriz jacobiana
Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad deaproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentesdiferentes aún tratándose del mismo objeto matemático.
2. Descripción Histórica de la Integral
Históricamente el concepto de integral comenzó hace más de veinte siglos, producto de la búsqueda de respuestas a los diferentes problemas geométricos que fueron surgiendo. Con el paso del tiempo, surgieron nuevos problemas relacionados con los fenómenos de la naturaleza (gravedad, movimiento,entre otros), lo que propició avances en la evolución del concepto, que por último llevaron al cálculo integral.
2.1. Arquímedes de Siracusa:
Calculó el volumen y la superficie de una esfera y de un cono y la superficie de una elipse y una parábola y expuso un método para calcular los volúmenes de revolución de segmentos de elipsoides, paraboloides e hiperboloides cortados por un planoperpendicular al eje principal.
2.2. Simón Stevin:
Sustituyó el método exhaustivo utilizado por Arquímedes por un método directo que representaba un gran paso hacia el concepto matemático de límite.
2.3. Johannes Kepler:
Se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles....
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