Integral estocastica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISICAS Y MATEMATICAS ´ ´ ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICAS

´ LA INTEGRAL ESTOCASTICA DE ITO Y ALGUNAS APLICACIONES AL CAMPO DE LAS FINANZAS
Primera versi´n del informe final del trabajo de tesis o Autor: Dennis Nicanor Quispe Sanchez Asesor: Dr. Obidio Rubio Mercedes

Trujillo - Per´ u 2011

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Presentaci´n oSe˜ores miembros del jurado: n

En cumplimiento a lo dispuesto por el reglamento de la Universidad Nacional de Trujillo, para optar el t´ ıtulo de Bachiller en Matem´ticas, pongo a su disposici´n el a o ´ presente trabajo titulado LA INTEGRAL ESTOCASTICA DE ITO Y ALGUNAS APLICACIONES AL CAMPO DE LAS FINANZAS, para que con su aprobaci´n o haga realidad mi deseada meta.

Con la consideraci´n de queeste trabajo pueda estar incompleto, acepto honeso tamente todas sus apreciaciones y sugerencias que tengan a bien formular, lo cual me servir´ para mejorarlo en el futuro. a

Trujillo, Febrero del 2011

El Autor

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Introducci´n. o
En al c´lculo de Newton-Leibniz, se aprende a derivar e integrar funciones detera min´ ısticas. Un teorema b´sico en diferenciaci´n es la regla dela cadena, la cual nos a o da la derivada de una composici´n de dos funciones diferenciables.En c´lculo avano a zado, la integral de Riemann-Stieltjes es definida a trav´s del mismo procedimiento e de “partici´n-evaluaci´n-suma-l´ o o ımite” como en la integral de Riemann. Al tratar con funciones aleatorias tales como funciones de un movimiento Browniano, la regla de la cadena para el c´lculo deNewton-Leibniz falla. Un movimiento a Browniano se mueve tan r´pida e irregularmente que casi todos sus caminos muesa trales son no diferenciables, as´ no podemos derivar funciones de un movimiento ı Browniano de la misma forma como en el c´lculo de Newton-Leibniz. a En 1944, Kiyosi Ito public´ el celebrado paper “Stochastic Integral” en la Academia o Imperial de Tokyo, este fue el inicio delc´lculo de Ito, la contraparte del c´lculo a a de Newton-Leibniz para funciones aleatorias. En la sexta p´gina de su paper, Ito a introdujo la integral estoc´stica y una f´rmula, conocida desde entonces como la a o f´rmula de Ito. La f´rmula de Ito es la regla de la cadena para el c´lculo de Ito, o o a pero esta no puede ser expresada como en el c´lculo de Newton-Leibniz en t´rminos a e de derivadas,puesto que un movimiento Browniano es no diferenciable.La f´rmula o de Ito puede ser interpretada solamente en forma integral,adem´s existe un t´rmino a e adicional en la f´rmula, llamado t´rmino correcci´n de Ito, resultante a partir del o e o hecho de que la variaci´n cuadr´tica de un movimiento Browniano es diferente de o a cero. Antes que Ito introduzca la integral estoc´stica en 1944, integralesinformales que a

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envolv´ ruido blanco (La derivada no existente de un movimiento Browniano), ya ıan hab´ sido usadas por cient´ ıan ıficos, la idea innovadora de Ito fue considerar el producto de ruido blanco y el diferencial de tiempo como un diferencial de movimiento Browniano y usarlo como un integrador. El m´todo usado por Ito para definir una e integral estoc´stica es unacombinaci´n de las t´cnicas en la integral de Riemanna o e Stieltjes(con respecto al integrador) y la integral de Lebesgue(con respecto al integrando). El c´lculo de Ito fue originalmente motivado por la construcci´n de procesos de a o difusi´n a partir de generadores infinitesinmales, las construcciones previas de tales o procesos hab´ sido realizadas a trav´s de tres pasos, v´ la teor´ de Hille Yosida,ıan e ıa ıa el teorema de representaci´n de Riesz,y el teorema de extensi´n de Kolmogorov. o o Sin embargo, Ito construy´ estos procesos de difusi´n directamente en un solo pao o so como soluciones de ecuaciones diferenciales estoc´sticas asociadas con los genera adores infinitesimales, adem´s, las propiedades de estos procesos pueden ser obtenidos a a partir de las mismas ecuaciones y la...