Integral impropia

Integral impropiaEn cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.IntroducciónSi la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
\int_a^c f(x)\,dx\,
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
\lim_{b\to c^-}\int_a^b f(x)\,dx.\,
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva ynegativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral
\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}
puede interpretarse como:
\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2},
pero desde el punto de vista del análisis matemáticono es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que\int_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\infty.
Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales sonfrecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtenerun valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real.
Límites infinitos de integraciónLas integrales impropias más básicas son integrales como:
\int_0^\infty {dx \over x^2+1}.
Como dijimos anteriormenteéstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que estásiendo integrada es arctan x. La integral es
\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\rightarrow\infty}\arctan b-\arctan 0=\pi/2-0=\pi/2.
Asíntotas verticales en los límites de integraciónConsidera
\int_0^1 \frac{dx}{x^{2/3}}.
Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.
Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entoncestomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es
3x1 / 3,
la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor
3 \cdot (1 - b^{1/3}).
El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.
Valores principales de CauchyArtículo principal: valor principal de Cauchy
Considera la diferencia en los valores de dos límites:
\lim_{a\rightarrow...