Integral impropia

Páginas: 20 (4751 palabras) Publicado: 19 de septiembre de 2014
Tema 11

Integrales impropias.
11.1

Introducci´n.
o

En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´tesis
o
Dom(f ) = [a, b] es un conjunto acotado.
f : [a, b] −→ I est´ acotada en [a, b].
R
a
Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente
integral impropia.

11.2

Integrales impropias de primeraespecie.

Definici´n 11.1 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], para todo t ≥ a, y sea
o
F : [a, +∞) −→ IR la funci´n definida por F (t) =
o

t

a

f (x)dx.

El par (f, F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a, +∞) y se designa
por

+∞
a

+∞

f (x)dx ´
o

a
+∞

Definici´n 11.2 – Diremos que la integral impropia
o

a

finito

t

lim F (t) = limt→+∞

t→+∞ a

f.

f (x)dx es convergente si existe y es

f (x)dx

y si ese l´
ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L. Es decir,
L=

+∞
a

f (x)dx.

Si el l´
ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se
dice que es oscilante.
De forma an´loga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalosde la
a
forma (−∞, b] para funciones f : (−∞, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ IR, y las
representamos por
b

−∞

b

f (x)dx ´
o

−∞

f.

Definici´n 11.3 – Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Diremos que
o
+∞

−∞

f (x)dx es convergente si existe alg´n a ∈ IR tal que las integrales
u
a
−∞

Integral de una variable.

f (x)dx y+∞
a

f (x)dx,
126

11.2 Integrales impropias de primera especie.

son ambas convergentes. En ese caso su valor es
+∞
−∞

a

f (x)dx =

−∞

+∞

f (x)dx +

f (x)dx.

a

Definici´n 11.4 – Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´cter, y lo repreo
a
sentaremos por “∼”, si son simult´neamente convergentes, divergentes u oscilantes.
a
Propiedades 11.5 –
a)Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a y sea b ≥ a. Entonces
+∞
a

+∞

f (x)dx ∼

b

f (x)dx.

Demostraci´n:
o
Como
lim

t

t→+∞ a

b

f (x)dx = lim

t→+∞

a

t

f (x)dx +

b

b

f (x)dx =

a

t

f (x)dx + lim

f (x)dx

t→+∞ b

el l´
ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´
ımite de la derecha es finito,infinito o no existe respectivamente. Y viceversa.
An´logamente si f : (−∞, b] −→ IR es integrable en [t, b], ∀ t ∈ IR y a ≤ b, entonces
a
b
−∞

a

f (x)dx ∼

−∞

f (x)dx.

b) Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t], ∀ t ≥ a. Si
+∞

convergen, entonces

a
+∞
a

+∞
a

f (x)dx y

+∞
a

g(x)dx

(f + g)(x)dx converge. En cuyo caso,

(f + g)(x)dx =

+∞
a

+∞

f(x)dx +

a

g(x)dx.

Demostraci´n:
o
Basta considerar que

lim

t

t→+∞ a

(f + g)(x)dx = lim

t

t→+∞ a

segundos l´
ımites existen.

f (x)dx + lim

t

t→+∞ a

g(x)dx, si los

c) Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], ∀ t ≥ a y λ ∈ I con λ = 0. Entonces
R,
+∞
a

f (x)dx ∼

+∞
a

λf (x)dx.

Demostraci´n:
o
Como lim

t

t→+∞ a

λf (x)dx = λlim

infinitos o no existen.

t

t→+∞ a

f (x)dx, ambos l´
ımites son simult´neamente finitos,
a

Observaciones:

Integral de una variable.

127

11.2 Integrales impropias de primera especie.

a) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. El car´cter de
a
no depende del punto a dado en la definici´n.
o

+∞
−∞

f (x)dx

En el caso de que la integral seaconvergente su valor no depende tampoco del punto
elegido ya que, para cualquier b ∈ IR,
a
−∞



f+

a

f=

b
−∞

f+

a
b

f+

b
a

f+


b

f=

b
−∞

b) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Si
+∞

entonces

−∞

f+

−∞


b

f.

f es convergente,

t
f.
t→+∞ −t

f = lim

La implicaci´n contraria es falsa....
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