Integral impropia
Integrales impropias.
11.1
Introducci´n.
o
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hip´tesis
o
Dom(f ) = [a, b] es un conjunto acotado.
f : [a, b] −→ I est´ acotada en [a, b].
R
a
Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente
integral impropia.
11.2
Integrales impropias de primeraespecie.
Definici´n 11.1 – Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], para todo t ≥ a, y sea
o
F : [a, +∞) −→ IR la funci´n definida por F (t) =
o
t
a
f (x)dx.
El par (f, F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a, +∞) y se designa
por
+∞
a
+∞
f (x)dx ´
o
a
+∞
Definici´n 11.2 – Diremos que la integral impropia
o
a
finito
t
lim F (t) = limt→+∞
t→+∞ a
f.
f (x)dx es convergente si existe y es
f (x)dx
y si ese l´
ımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L. Es decir,
L=
+∞
a
f (x)dx.
Si el l´
ımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente, y si no existe se
dice que es oscilante.
De forma an´loga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalosde la
a
forma (−∞, b] para funciones f : (−∞, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ IR, y las
representamos por
b
−∞
b
f (x)dx ´
o
−∞
f.
Definici´n 11.3 – Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Diremos que
o
+∞
−∞
f (x)dx es convergente si existe alg´n a ∈ IR tal que las integrales
u
a
−∞
Integral de una variable.
f (x)dx y+∞
a
f (x)dx,
126
11.2 Integrales impropias de primera especie.
son ambas convergentes. En ese caso su valor es
+∞
−∞
a
f (x)dx =
−∞
+∞
f (x)dx +
f (x)dx.
a
Definici´n 11.4 – Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo car´cter, y lo repreo
a
sentaremos por “∼”, si son simult´neamente convergentes, divergentes u oscilantes.
a
Propiedades 11.5 –
a)Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a y sea b ≥ a. Entonces
+∞
a
+∞
f (x)dx ∼
b
f (x)dx.
Demostraci´n:
o
Como
lim
t
t→+∞ a
b
f (x)dx = lim
t→+∞
a
t
f (x)dx +
b
b
f (x)dx =
a
t
f (x)dx + lim
f (x)dx
t→+∞ b
el l´
ımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el l´
ımite de la derecha es finito,infinito o no existe respectivamente. Y viceversa.
An´logamente si f : (−∞, b] −→ IR es integrable en [t, b], ∀ t ∈ IR y a ≤ b, entonces
a
b
−∞
a
f (x)dx ∼
−∞
f (x)dx.
b) Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t], ∀ t ≥ a. Si
+∞
convergen, entonces
a
+∞
a
+∞
a
f (x)dx y
+∞
a
g(x)dx
(f + g)(x)dx converge. En cuyo caso,
(f + g)(x)dx =
+∞
a
+∞
f(x)dx +
a
g(x)dx.
Demostraci´n:
o
Basta considerar que
lim
t
t→+∞ a
(f + g)(x)dx = lim
t
t→+∞ a
segundos l´
ımites existen.
f (x)dx + lim
t
t→+∞ a
g(x)dx, si los
c) Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], ∀ t ≥ a y λ ∈ I con λ = 0. Entonces
R,
+∞
a
f (x)dx ∼
+∞
a
λf (x)dx.
Demostraci´n:
o
Como lim
t
t→+∞ a
λf (x)dx = λlim
infinitos o no existen.
t
t→+∞ a
f (x)dx, ambos l´
ımites son simult´neamente finitos,
a
Observaciones:
Integral de una variable.
127
11.2 Integrales impropias de primera especie.
a) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. El car´cter de
a
no depende del punto a dado en la definici´n.
o
+∞
−∞
f (x)dx
En el caso de que la integral seaconvergente su valor no depende tampoco del punto
elegido ya que, para cualquier b ∈ IR,
a
−∞
∞
f+
a
f=
b
−∞
f+
a
b
f+
b
a
f+
∞
b
f=
b
−∞
b) Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR. Si
+∞
entonces
−∞
f+
∞
−∞
∞
b
f.
f es convergente,
t
f.
t→+∞ −t
f = lim
La implicaci´n contraria es falsa....
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