Integral_Indefinida_Teoria

Integral indefinida

CAPÍTULO13: INTEGRAL INDEFINIDA
SUMARIO:
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
PARTE TEÓRICA DEL TEMA :
13.1.- Función primitiva. Integral definida.
13.2.- Integración y diferenciación.
13.3.- Integrales inmediatas.
13.4.- Linealidad de la integral indefinida.
13.5.- Métodos o técnicas de integración.
13.5.1.- Integración por sustitución o cambio de variable.13.5.2.- Integración por partes.
13.5.3.- Integrales racionales. Método de Hermite.
13.5.4.- Integrales irracionales.
13.5.5.- Integrales de algunas funciones trascendentes.
PROBLEMAS RESUELTOS

MATEMÁTICAS I

1

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

INTRODUCCIÓN
El cálculo de integrales indefinidas es una práctica constante no solo en
asignaturas de Matemáticas que debecursar un alumno de Ingeniería sino
que, además, aparece frecuentemente en el estudio de otras materias,
generales como la Física, o más específicas como cualquier Tecnología.
Así, por ejemplo, es imposible manejar la Integración Múltiple o la
resolución de Ecuaciones diferenciales ordinarias sin un amplio bagaje en
la determinación de primitivas. Asimismo, son variados los problemas

2MATEMÁTICA I

Integral indefinida

como determinación de Centros de Gravedad o Momentos de inercia,
Trabajo realizado por una fuerza, etc..., donde es imprescindible la
utilización del cálculo integral.
Definiremos

el

concepto

de

función

primitiva,

resaltando

la

circunstancia de la existencia de infinitas primitivas de una función dada
que se diferencian en unaconstante. Aprovechando las reglas de
derivación construiremos un cuadro de integrales inmediatas para su
utilización por el alumno.
Destacaremos que, ni mucho menos, todas las funciones admiten
primitivas expresables mediante funciones elementales. Intentaremos
crear una metodología en la determinación de estas primitivas dando los
pasos a seguir para cada uno de los tipos más frecuentes deintegración
que se nos pueda presentar.
Así, comentaremos los casos más usuales en la aplicación de la
integración por partes como producto de polinomios por exponenciales,
exponenciales por trigonométricas, polinomios por logaritmos,...,etc.
Dado que las integrales racionales son muy metódicas en su resolución
bastaría un ejercicio de cada tipo para que el alumno adquiera el
conocimientonecesario. Las integrales irracionales y las trascendentes se
resuelven en los casos generales transformándolas en racionales. De
todas formas, comentaremos algunos casos particulares en que no es
necesaria esta racionalización, dando el método más apropiado para su
cálculo. Haremos notar al alumno que, en general, las integrales
indefinidas no se resuelven mediante ”ideas felices”, sino aplicandoesos
métodos ya estudiados que nos permiten hacerlo por la vía más segura y,
casi siempre, más rápida.

MATEMÁTICAS I

3

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
- Repasar el concepto de función primitiva y el cuadro de integrales
inmediatas, completándolo con las funciones hiperbólicas y sus inversas.
- Destacar al alumno el concepto de integracióncomo función inversa
de la diferenciación.
- Conocer los métodos generales de integración adquiriendo cierta
metodología en la determinación de primitivas de funciones elementales.
-Aprovechar las operaciones necesarias en la determinación de
primitivas para reforzar en el alumno conocimientos de matemáticas
elementales como trigonometría u operaciones con logaritmos.

13.1. FUNCIÓNPRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA.
Se dice que la función F ( x ) es una primitiva de f ( x ) en un intervalo

I , si F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ I . En este caso, se cumplirá también que
′

⎡ F ( x ) + c ⎤ = f ( x ) , por lo que si F ( x ) es primitiva de f ( x ) también
⎣
⎦
lo será F ( x ) + c, ∀x ∈ R.
Al conjunto de las infinitas primitivas de f ( x ) , le llamaremos integral
indefinida...