integral indefinida
INTEGRAL INDEFINIDA
x3
Sea F ( x)
F ´( x) 3 x 2
f ( x)
F´ derivada de F
F anti derivada de F´ = f
x3 anti derivada de 3x2
Porque (x3)´=3x2
F´(x) f(x)
(x3+C): Conjunto de anti derivadas de 3x2 ; C es constante real
Porque: (x3+C)´= (x3)´+( C )´= 3x2
En general:
( F(x) + C ) : Conjunto de anti derivadas de f(x)
F ´( x ) f ( x )
al conjunto de anti derivadasde f(x) se le llama integral indefinida de f(x).
Se denota y define:
F ´( x ) f ( x )
f ( x ) dx F ( x ) C
Por ejemplo
3x 2 dx x 3 C , porque la derivada de x3 es 3x2
REGLAS DE INTEGRACIÓN
1) Cf ( x ) dx C f ( x ) dx
2) ( f ( x )
g ( x )) dx
3)
f ( x ) dx
4)
F ´( x ) dx
5) dF ( x)
6)
f ( x ) dx
F ( x) C
F ´( x )
f ( x)
F ( x) C
F ( x) C ; ( d z
f (u )du
f ( x ) dx
F (u ) C
z C)
F ´(u )
f (u )
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I) INTEGRACION DIRECTA
La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma
inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos
permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.
Ejemplo:
d 2
1) 2 xdx x 2 C por que
(x ) 2x
dx
x21
d 4
3
4
3
2
2
C
2) 4 x dx x C por que
3) 3 x dx 3 x dx 3
(x ) 4x
2 1
dx
3
x3
3
C
x3
C por que
d 3
(x )
dx
3x 2
1
NOLAN JARA JARA
En general:
xn 1
C;n
n 1
n
1) x dx
por que
Si n
2)
d xn 1
(
)
dx n 1
1
1
d n1
(x )
n 1 dx
1
dx
x
x 1 dx
1
dx
x
ex
n 1 n
(x )
n 1
ln x C ; x
ln x
3) e x d x
1C
xn
0 por que (ln x )´
x
;
1
x
0
C
por que (e x )´ e x
4)Si a
0; a
x
1
ax
a dx
ln a
ax
1
por que (
)´
(a x )
ln a
ln a
1
a x ln a
ln a
ax
5) Senxdx
C osx
C
C
por que ( cos x)´
(cos x)´
6) C osxdx
( senx)
Senx
senx
C
por que ( senx )´ cosx
7 ) sec2 xdx
tg x
C
por que (tgx )´ sec 2 x
8)csc 2 xdx
cotgx C
por que ( cotgx ( cotgx ( cosec x cos ec 2
)´
)´
)2
x
9 ) s e c x tg x d x
secx
c
por que (sec x)´ sec xtgx
II) POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver
la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento
se conoce como integración porsustitución.
Ejemplo:
senx
senx
d (cosx )
1) tgxdx
dx
.dx
; u cos x
ln(cosx ) C
cosx
cosx
cosx
2
NOLAN JARA JARA
1
du
u
tgxdx
tg x d x
2)
1
x
2
1
x
2
1
tg
1
s e c x/
c
arctan x
(tgx Secx )´
dx
tgx Secx
ln Secx c
c
d
Secx( Secx tgx)
dx
( Secx tgx)
3) Secxdx
c
sec 2 d
dx
dx
1
ln( Cosx) 1
ln( cosx) c1
sec 2 d
sec 2
dx
x2
c
ln /
dx ; x
1
ln u
arctan x c
c
Sec 2 x Secxtgx
dx
Secx tgx
d (tgx Secx )
tgx Secx
1
dz
z
ln z
c = ln( secx
tgx ) c
z
secxdx
1
4)
x
dx ; x
2
secx
tg
dx
tg x
c
sec 2 d
1
1
x2
ln
1
sec2 d
sec
dx
1
Como: x
= sec d
ln tg
sec
C…(i)
tg
x2 1
x
1
1En (i):
x
2
dx
x2
1) c
1
1
1 x
ln( x
2
dx
ln( x
x2
1) C
3
NOLAN JARA JARA
5)
1
dx ; x
1 x2
Sen
dx
cos d
Como: x sen
1
x
1 x2
1
Cos d
Cos 2
I
1
ln
x
1 x
2
x2
Otra forma:
1
dx
1 x2
2
C
1
dx
(1 x)(1 x)
(1 x)´
dx
(1 x)
1
ln x 1 ln 1 x
2
C
ln Sec
1 x
(1 x)(1 x)
ln
Cx
x
C
1
2
C
1
1
1 x
1 x
1
2
d ( x 1)
x 1
1 x 1
ln
2 1 x
1
1 1 x
dx ln
2 1 x
1 x2
tg
C
1 1
ln
2 1
dx
( x 1)´
dx
x 1
Sec d
1
1 x
ln
2
1 x
C
1
1
2
1 x
1/ 2
1 x
ln
1 x
1
1
d
Cos
dx
1
2
1
x 1
dx
1
dx
1 x
d (1 x)
(1 x)
C
C
4
NOLAN JARA JARA
Ejemplo
Hallar las...
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