Integral indefinida

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRALES

INDEFINIDAS

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ÍNDICE:

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. 2.- INTEGRAL INDEFINIDA. 3.- INTEGRALES INMEDIATAS. 3.1.- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES. 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. 5.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. 6.- INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN. 7.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. 8.- INTEGRACIÓN PORPARTES. 9.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. 9.1.- FRACCIONES RACIONALES PROPIAS.
RAÍCES REALES SIMPLES. RAÍCES REALES MÚLTIPLES. RAÍCES IMAGINARIAS SIMPLES. RAÍCES IMAGINARIAS COMPUESTAS.

9.2.- CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS. 10.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

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1.- FUNCIÓN PRIMITIVA En los temas anteriores se ha estudiado comopuede obtenerse la función derivada de una función dada. En ocasiones se presenta la necesidad de llevar a cabo el proceso contrario, esto es, dada una función hallar otra, denominada "Función Primitiva", cuya derivada sea la primera. Función primitiva de una función dada: ƒ(x), es otra función: F(x), cuya derivada es la primera. F(x) = función primitiva de ƒ(x) ⇒ F '(x) = ƒ(x)
Ejemplo: F(x) = ln x,es función primitiva de : ƒ(x) = 1/x , ya que la derivada de ln x es 1/x

2.- INTEGRAL INDEFINIDA No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada. Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en unacantidad constante. En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función primitiva de ƒ(x), ya que: [F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x) El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. Laintegral indefinida se representa por:

∫ f ( x)dx
De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada. Ejemplos:

∫ ∫ cos x dx = sen x + C 1 ∫ x dx = 2 x + C
dx = x + C

∫ ∫ sen x dx = − cos x + C ∫ e dx = e + C
1 dx = ln x + C x
x x

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3.- INTEGRALES INMEDIATAS Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación. A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente:

a)∫dx = x +C

c)∫cos x dx = sen x +C

e)∫ 1 = 2 +dx x C
x

g)

i)

k)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dx = x + c 1 dx = 2 x + C x a x dx = ax +C lna

b)

d)

f)

sen x dx = − cos x + C 1 dx = tg x + C cos 2 x

h)

j)

1 dx = arcsen x + C 1− x2

l)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫

x m dx =

x m +1 +C m +1

e xdx = e x + C 1 dx = ln x + C x

cos x dx = sen x + C 1+ tg 2 x dx = tg x + C

)

1 dx = arctg x + C 1 + x2

3.1.- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES DE FUNCIONES

Sean y = ƒ(u), u = u(x) dos funciones continuas.La función y = ƒ(u(x)) es unafunción de función. Supuesto que F(u) es una primitiva de ƒ(u) respecto a u; es decir se cumple

d F (u ) = f (u ) ⇒ du
como du = u'(x)dx, sustituyendo resulta

∫ f (u)du = F (u) + C

∫ f (u( x))⋅ u' ( x)dx = F (u) + C
Si Conjuganos dicho resultado con la tabla de integrales indefinidas vista anteriormente, obtendremos una serie de integrales calificadas tambiénde integrales inmediatas para u = u(x):

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a)

b)

c)

∫ u' ∫ u dx = ln x + C  arctg u + C u' dx =  ∫ 1 + u − arc cot x + C
u m ⋅ u ' dx = 1 ⋅ u m +1 + C m +1
2

(m ≠ - 1)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

∫ 1 a ⋅ u ' dx = ⋅a +C ∫ ln a ∫ e ⋅ u' dx = e + C ∫ sen u ⋅ u' dx = − cos u + C ∫ cos u ⋅ u' dx = sen u + C ∫ tg u ⋅...