Integral Indefinida

1

Cap´ ıtulo 1 INTEGRAL INDEFINIDA

1.1.

Antiderivadas

Sea f una funci´n definida en un intervalo I. Una antiderivada de f es una funci´n o o F que satisface la condici´n F (x) = f (x) para todo x en I. Por ejemplo, la funci´n o o F (x) = ln x es una antiderivada de f (x) = 1/x en el intervalo (0, ∞) y la funci´n o F (x) = |x| es una antiderivada de la funci´n f (x) = −1 en el intervalo(−∞, 0). El o t´mino primitiva se usa como sin´nimo de antiderivada. e o Observemos que la antiderivada de una funci´n no es unica. Por ejemplo las funciones o ´ F (x) = sen x, G(x) = sen x + 3 y H(x) = sen x − 1, son todas, antiderivadas de f (x) = cos x. En general si F es una antiderivada de una funci´n f tambi´n son o e antiderivadas de f todas las funciones de la forma F (x) + C, donde C escualquier constante y adem´s todas las antiderivadas de f son de dicha forma. a El conjunto de todas las antiderivadas de f se representa mediante la expresi´n o f (x) dx

y generalmente se le llama integral indefinida de f . De modo que si F es una antideriva-

2 da particular de f se escribe

CAP´ ITULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA

f (x) dx = F (x) + C As´ por ejemplo escribimos ı cos x dx =sen x + C Puesto que
d (sen x dx

+ C) = cos x, para cualquier valor de la constante C. De modo

que el s´ ımbolo

f (x) dx representa una familia infinita de funciones cuyos miembros

se distinguen entre s´ por una constante aditiva. ı

1.1.1.

Propiedades b´sicas a

Si f y g tienen antiderivada entonces 1. 2. (f (x) + g(x)) dx = kf (x) dx = k f (x) dx + g(x) dx

f (x) dx, paratoda constante real k

1.1.2.

Tabla b´sica de integrales a
xn+1 + C, n+1 dx = ln |x| + C
ax ln a

xn dx =
1 x

n ∈ R, n = −1

cos x dx = sen x + C sec2 x dx = tan x + C csc2 x dx = − cot x + C sec x tan x dx = sec x + C csc x cot x dx = − csc x + C

ex dx = ex + C ax dx = +C

sen x dx = − cos x + C Ejemplo 1 Obtener (3x4 − 5x + 3) dx

1.1. ANTIDERIVADAS soluci´n o

3

(3x4 −5x + 3) dx = =3 =3 Observemos que dx significa

3x4 −

5x dx +

3 dx dx

x4 dx − 5

x dx + 3

x2 x5 − 5 + 3x + C 5 2

1 dx, es decir la antiderivada de la funci´n constante o 0+1 x 1, que puede representarse como x0 , por tanto su integral es + C = x + C, seg´n u 0+1 la primera f´rmula de la tabla. o

Ejemplo 2 √ x + 3 − 2x Obtener dx x2 soluci´n o

√

x + 3 − 2x dx = x2 =

√x

x2

dx +

3 − x2

x−3/2 dx +
1

2x dx x2 2 3x−2 − dx x

x− 2 3x−1 = 1 + − 2 ln |x| + C −1 −2 2 3 = − √ − − 2 ln |x| + C x x Ejemplo 3 Obtener 2 + sen2 x dx cos2 x

4 soluci´n o

CAP´ ITULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA

2 + sen2 x dx = cos2 x = =3

2 + 1 − cos2 x dx cos2 x 3 cos2 x dx − dx cos2 x cos2 x sec2 x dx − dx

= 3 tan x − x + C

Ejercicios Propuestos secci´n 1.1o
1. En cada uno de los siguientes literales compruebe que la funci´n dada F es una o antiderivada de la correspondiente funci´n f o a) F (x) =
x+1 ; x

f (x) = −

1 x2

b) F (x) = x ln x − x + 1;

f (x) = ln x f (x) = −2 csc2 (2x) − 1 csc ( x ) cot ( x ) 3 3 3

c) F (x) = cot 2x + csc x − 2; 3
1 d ) F (x) = 2x − ( 2 )x ;

f (x) = ln 2(2x + 2−x )

2. 3. 4. 5. 6.

4 (5x3 − 4x2 +x − 5) dx. Respuesta: 5 x4 − 3 x3 + 1 x2 − 5x + C 4 2

(x6 + 5x4 − 2x) dx. Respuesta: 1 x7 + x5 − x2 + C 7
3 5 5 ( x2 + x )dx. Respuesta: − x + 3 ln |x| + C 4x6 +7x x4

dx. Respuesta: 4 x3 − 3
3 4

7 2x2

+C

√ 3

x dx. Respuesta:

√ 3

x4 + C

1.1. ANTIDERIVADAS 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. √ 3 (3 x − x) dx. Respuesta: 2x 2 −
1 √ 3 x √ x2 25 +C

dx. Respuesta:

√ 2 x 3

+C
7

x+x3 √ 3x

dx. Respuesta: 6 x 6 + 7

3 11 x3 11

+C

tan2 x dx. Respuesta: tan x − x + C
cos 2x sen2 x

dx. Respuesta: − cot x − 2x + C dx. Respuesta: −2 cos x + C dx. Respuesta: 2 sen x + C dx. Respuesta: − csc x + C

sen 2x cos x

sen 2x sen x

cos x sen2 x

(2 + cot2 x) dx. Respuesta: x − cot x + C (3ex − sen x)dx. Respuesta:...