Integral Indefinida

NOLAN JARA JARA
LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea f: D  R R /y = f(x) es continua en [a,b]  Dom(f) entonces:
b
n
lim
f
(
x
)
dx

f ( xi* )xi Si 
xa
Max xi  0 
i 1
Donde: xi  xi  xi 1 ; xi*   xi 1 , xi ; Para que xi  0, n  
Si : x1  x2  .....  xi    xn 
b





f ( x)dx 

xa

lim
n

n

 f ( xi)xi
i 1

ba

n

xi 

ba
;i 1,2,, n
n

ba
; xi  a  i

n 

y = f(x)...... ϐ

R
xi

b





f ( x)dx 

xa

lim
n

n


i 1


 b  a   b  a 
f  a  i
 

 n   n 


Observación: Si f ( x)  0x  [a, b]  

b

xa

f ( x)dx  A( R)

A( R): Área de la región R limitada superiormente por la curva ϐ : y = f(x)
inferiormente por el eje x y lateralmente por las rectas verticales x = a, x = b.
3

Ejemplo 1: Calcular

x

2

dx .Solución: f ( x)  x 2 ; a  0; b  3; xi 

x 0

  3 
3
xi  ; f ( xi )  xi 2   i   
n
  n 
b



f ( x)dx 

xa

 27

lim

lim
n

1
n   n3

n


i 1

n



2

f ( xi)xi 

i 1

i 2  27

ba
n

lim n  9 2  3
 (i )  n
n   i 1  n 2

1 n(n  1)(2n  1)
n   n3
6
lim

1

NOLAN JARA JARA

3
9 lim 2n 3  3n 2  n 9
 (2)  9 ;   x 2 dx  9

3
2
2n
n
x 0

1Ejemplo 2:  2 x dx . Solución: f ( x)  2 x ; a  0; b  1; xi 
x 0

1

f ( xi )  2 xi  2i (1/ n ) 



lim

2 x dx 

n

x 0

n



f ( xi )xi =

i 1

ba 1
1
; xi  i  

n
n
n

lim
n

n

2

i (1 / n )

i 1

1
 
n

i

1
lim 1 n  1n 
lim 1 n i (1 / n )
n
=
=
2
 2  ; t2


n   n i 1 
n   n i 1


=







lim 1
lim 1
t  t 2  t 3  ....  t n =
t 1  t t 2  ....  t n 1
n n
n n



1 tn
1 t
1
lim 1  n  1   1

2
 ;  z0
n   n   1  21/ n   n


 1 
lim
lim
 z  1 
1
z

z 2  z

2  z



z  0   2  1  z  0
 2  1  ln 2
 z 
4

Ejercicio:



4 x  x 2 dx

0

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
b

I) Si F ´(x)  f ( x)x  [a, b] 



xa

x

II) Si G ( x) 



f (t )dt  G´(x) 

t a

Engeneral, si: G ( x ) 



u(x)
ta

f ( x)dx   F ( x) x  a = F (b)  F (a )
b

x

d 
  f (t )dt   f (x)


dx  t  a


f ( t ) d t  G´( x) 

d
dx



u ( x)

t a



f (t )dt  f (u ).u´( x)

Propiedades de la Integral Definida:
Sean f, g: R R funciones integrables en [a,b] y sea k: constante real


2) 
3) 
1)

b

a
b

a
a
b

b

kf ( x)dx  k  f ( x)dx
a

b

b

a

a

( f ( x) g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b

f ( x)dx    f ( x)dx
a

b

c

b

a

a

c

4) Si: a  c  b   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
2

NOLAN JARA JARA

5)



b

a

b

f ( x)dx   f ( x) dx
a

a

6)

 f ( x)dx  0
a

a

7) Si f es par 



a

a

f ( x)dx  2  f ( x)d ( x)
0

a

8) Si f es impar 

 f ( x)dx  0

a

b

b

a

a

9) Si f ( x)  g ( x)x  [a, b]   f ( x)dx   g (x)dx
b

10) Si m  f ( x)  M x  [a, b]  m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a )
a

11) C   a, b tal que :

b

f (c ) 

1
f ( x)dx
b  a a

  x dx . Solución:
4

Ejercicio: 1)

x 0

f ( x)   x  ; x  [0, 4]

0; 0  x  1
1;1  x  2
f ( x)  2; 2  x  3

3; 3  x  4
4; x  4

0
0

  x dx   0dx   1dx   2dx   3dx   4dx
4

1

x 0

2

0

3

1

4

2

4

3

 0  x 1  2x2  3x 3  0
2

3

4

4

 1  2(1)  3(1)  6
3

2)



x( x  1) dx . Solución: f ( x)  x( x  1) ; x  [0,3]

x 0

(1  x) x   x 2  x; x  [0,1
f (x) 

x( x  1)  x 2  x; x  [1,3]
1

3

 x2 x3 
 x3 x 2 
x
(
x

1
)
dx

(
x

x
)
dx

(
x

x
)
dx





  



3  x 0  3
2  x 1
 2
x 0
x 0
x 0
3

1

3

2

2

3

NOLAN JARA JARA









1
3
1 2
1
1
1
x (3 2 x) x 0  x 2 (2 x  3) x 1  (3  2)1  0(3,0)  9(6  3)  1(2  3)
6
6
6
6
1 1
29
.
  (27  1) 
6 6
6



1
3 x 1

3) Si



f (t )dt 

t 0

2
 1  16
 ax; Hallar los valores de a de modo que; f   
ax
 4 3

Solución:

d  3 x 1

dx  t 0
1

 d  2

 1   1  2
f (t )dt     ax ; a  0  f 

  2 a

 3 x  1   3 x  1  ax
 dx  ax

2 2
 1 ...